Theorem lubun 17123

Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubun.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubun.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lubun.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubun	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))

Proof of Theorem lubun

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubun.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
3		lubun.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		biid 251	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)))
5		simp1 1061	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
6		unss 3787	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ↔ (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
7	6	biimpi 206	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
8	7	3adant1 1079	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑆 ∪ 𝑇) ⊆ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lubval 16984	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
10		clatl 17116	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
11	10	3ad2ant1 1082	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
12	1, 3	clatlubcl 17112	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
13	12	3adant3 1081	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
14	1, 3	clatlubcl 17112	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
15	14	3adant2 1080	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
16		lubun.j	. . . . 5 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
17	1, 16	latjcl 17051	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
18	11, 13, 15, 17	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
19		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ CLat)
20	19, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝐾 ∈ Lat)
21		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝐵)
24	19, 21, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
25		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
26	19, 25, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
27	20, 24, 26, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
28	1, 2, 3	lubel 17122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑆))
29	19, 22, 21, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑆))
30	1, 2, 16	latlej1 17060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
31	20, 24, 26, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
32	1, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31	lattrd 17058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
33	32	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
34	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ Lat)
35		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝑇)
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦 ∈ 𝐵)
38		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝐾 ∈ CLat)
39	38, 35, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
40	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
41	1, 2, 3	lubel 17122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑦 ∈ 𝑇 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑇))
42	38, 36, 35, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)(𝑈‘𝑇))
43		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
44	38, 43, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
45	1, 2, 16	latlej2 17061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
46	34, 44, 39, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
47	1, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46	lattrd 17058	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ 𝑇) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
48	47	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
49		ralunb 3794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
50	33, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
51		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
52	51	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
54	52, 53	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
55	54	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))))
57	50, 56	mpid 44	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
58	57	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
59	58	ad2ant2rl 785	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
60		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥))
61		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
62		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
64	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥))
66		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
67	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
68	61, 66, 63, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥))
69	65, 68	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥)))
70	61, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
71	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
72	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
73	1, 2, 16	latjle12 17062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
74	70, 71, 72, 63, 73	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑥 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑥) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
75	69, 74	sylibd 229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
76	60, 75	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥))
77	76	imp 445	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
78	77	adantrr 753	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥)
79	18	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵)
80	1, 2	latasymb 17054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
81	70, 63, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
82	81	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → ((𝑥(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑥) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
83	59, 78, 82	mpbi2and 956	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) → 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
84	83	ex 450	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) → 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
85		elun 3753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∨ 𝑦 ∈ 𝑇))
86	32, 47	jaodan 826	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∨ 𝑦 ∈ 𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
87	85, 86	sylan2b 492	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)) → 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
88	87	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
89		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧))
90		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ CLat)
91		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑆 ⊆ 𝐵)
92		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
93	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧))
95		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑇 ⊆ 𝐵)
96	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
97	90, 95, 92, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧 → (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧))
98	94, 97	anim12d 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ 𝑆 𝑦(le‘𝐾)𝑧 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑇 𝑦(le‘𝐾)𝑧) → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
99	89, 98	syl5bi 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧)))
100	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
101	90, 91, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵)
102	90, 95, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵)
103	1, 2, 16	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑈‘𝑆) ∈ 𝐵 ∧ (𝑈‘𝑇) ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
104	100, 101, 102, 92, 103	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (((𝑈‘𝑆)(le‘𝐾)𝑧 ∧ (𝑈‘𝑇)(le‘𝐾)𝑧) ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
105	99, 104	sylibd 229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
106	105	ralrimiva 2966	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
107		breq2 4657	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ 𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
108	107	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
109		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (𝑥(le‘𝐾)𝑧 ↔ ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))
110	109	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
111	110	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)))
112	108, 111	anbi12d 747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧))))
113	112	biimprcd 240	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))(le‘𝐾)𝑧)) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
114	88, 106, 113	syl2anc 693	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
115	114	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)) → (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))))
116	84, 115	impbid 202	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → ((∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧)) ↔ 𝑥 = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇))))
117	18, 116	riota5 6637	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (℩𝑥 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ (𝑆 ∪ 𝑇)𝑦(le‘𝐾)𝑧 → 𝑥(le‘𝐾)𝑧))) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))
118	9, 117	eqtrd 2656	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑇 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘(𝑆 ∪ 𝑇)) = ((𝑈‘𝑆) ∨ (𝑈‘𝑇)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∨ wo 383   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℩crio 6610  (class class class)co 6650  Basecbs 15857  lecple 15948  lubclub 16942  joincjn 16944  Latclat 17045  CLatccla 17107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-preset 16928  df-poset 16946  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-lat 17046  df-clat 17108

This theorem is referenced by:  paddunN  35213  poldmj1N  35214