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Theorem lubun 17123

Description: The LUB of a union. (Contributed by NM, 5-Mar-2012.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
lubun.b
lubun.j	$.\/$
lubun.u

**Assertion**
Ref	Expression
lubun	$/\$ $/\$ $.\/$

Proof of Theorem lubun Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubun.b	. . 3
2		eqid 2622	. . 3
3		lubun.u	. . 3
4		biid 251	. . 3 $/\$ $/\$
5		simp1 1061	. . 3 $/\$ $/\$
6		unss 3787	. . . . 5 $/\$
7	6	biimpi 206	. . . 4 $/\$
8	7	3adant1 1079	. . 3 $/\$ $/\$
9	1, 2, 3, 4, 5, 8	lubval 16984	. 2 $/\$ $/\$ $/\$
10		clatl 17116	. . . . 5
11	10	3ad2ant1 1082	. . . 4 $/\$ $/\$
12	1, 3	clatlubcl 17112	. . . . 5 $/\$
13	12	3adant3 1081	. . . 4 $/\$ $/\$
14	1, 3	clatlubcl 17112	. . . . 5 $/\$
15	14	3adant2 1080	. . . 4 $/\$ $/\$
16		lubun.j	. . . . 5 $.\/$
17	1, 16	latjcl 17051	. . . 4 $/\$ $/\$ $.\/$
18	11, 13, 15, 17	syl3anc 1326	. . 3 $/\$ $/\$ $.\/$
19		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
20	19, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
21		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
23	21, 22	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
24	19, 21, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
25		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
26	19, 25, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
27	20, 24, 26, 17	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
28	1, 2, 3	lubel 17122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
29	19, 22, 21, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
30	1, 2, 16	latlej1 17060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
31	20, 24, 26, 30	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
32	1, 2, 20, 23, 24, 27, 29, 31	lattrd 17058	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
33	32	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
34	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
35		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
36		simpr 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
37	35, 36	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
38		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
39	38, 35, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
40	18	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
41	1, 2, 3	lubel 17122	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
42	38, 36, 35, 41	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
43		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
44	38, 43, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
45	1, 2, 16	latlej2 17061	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $.\/$
46	34, 44, 39, 45	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
47	1, 2, 34, 37, 39, 40, 42, 46	lattrd 17058	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
48	47	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $.\/$
49		ralunb 3794	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$
50	33, 48, 49	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$
51		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . 13 $.\/$ $.\/$
52	51	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$ $.\/$
53		breq2 4657	. . . . . . . . . . . 12 $.\/$ $.\/$
54	52, 53	imbi12d 334	. . . . . . . . . . 11 $.\/$ $.\/$ $.\/$
55	54	rspcv 3305	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$ $.\/$
56	18, 55	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$
57	50, 56	mpid 44	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$
58	57	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
59	58	ad2ant2rl 785	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
60		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 $/\$
61		simpl1 1064	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
62		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
63		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
64	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
65	61, 62, 63, 64	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
67	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
68	61, 66, 63, 67	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
69	65, 68	anim12d 586	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
70	61, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
71	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
72	15	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
73	1, 2, 16	latjle12 17062	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
74	70, 71, 72, 63, 73	syl13anc 1328	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
75	69, 74	sylibd 229	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
76	60, 75	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
77	76	imp 445	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
78	77	adantrr 753	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
79	18	adantr 481	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
80	1, 2	latasymb 17054	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
81	70, 63, 79, 80	syl3anc 1326	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
82	81	adantr 481	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$
83	59, 78, 82	mpbi2and 956	. . . . 5 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
84	83	ex 450	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
85		elun 3753	. . . . . . . 8 $\/$
86	32, 47	jaodan 826	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $\/$ $.\/$
87	85, 86	sylan2b 492	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
88	87	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $.\/$
89		ralunb 3794	. . . . . . . . 9 $/\$
90		simpl1 1064	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
91		simpl2 1065	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
92		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
93	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
94	90, 91, 92, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
95		simpl3 1066	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
96	1, 2, 3	lubl 17120	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
97	90, 95, 92, 96	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
98	94, 97	anim12d 586	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
99	89, 98	syl5bi 232	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
100	90, 10	syl 17	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
101	90, 91, 12	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
102	90, 95, 14	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
103	1, 2, 16	latjle12 17062	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
104	100, 101, 102, 92, 103	syl13anc 1328	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
105	99, 104	sylibd 229	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
106	105	ralrimiva 2966	. . . . . 6 $/\$ $/\$ $.\/$
107		breq2 4657	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$
108	107	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
109		breq1 4656	. . . . . . . . . 10 $.\/$ $.\/$
110	109	imbi2d 330	. . . . . . . . 9 $.\/$ $.\/$
111	110	ralbidv 2986	. . . . . . . 8 $.\/$ $.\/$
112	108, 111	anbi12d 747	. . . . . . 7 $.\/$ $/\$ $.\/$ $/\$ $.\/$
113	112	biimprcd 240	. . . . . 6 $.\/$ $/\$ $.\/$ $.\/$ $/\$
114	88, 106, 113	syl2anc 693	. . . . 5 $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$
115	114	adantr 481	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$ $/\$
116	84, 115	impbid 202	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
117	18, 116	riota5 6637	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $.\/$
118	9, 117	eqtrd 2656	1 $/\$ $/\$ $.\/$

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints:

wi 4

wb 196 $\/$ wo 383 $/\$ wa 384 $/\$ w3a 1037

wceq 1483

wcel 1990

wral 2912

cun 3572

wss 3574 class class class wbr 4653

cfv 5888

crio 6610 (class class class)co 6650

cbs 15857

cple 15948

club 16942

cjn 16944

clat 17045

ccla 17107

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-rep 4771 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-op 4184 df-uni 4437 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-id 5024 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-preset 16928 df-poset 16946 df-lub 16974 df-glb 16975 df-join 16976 df-meet 16977 df-lat 17046 df-clat 17108

This theorem is referenced by: paddunN 35213 poldmj1N 35214

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