Theorem mulgfvi 17545

Description: The group multiple operation is compatible with identity-function protection. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
mulgfvi.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgfvi	⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Proof of Theorem mulgfvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgfvi.t	. 2 ⊢ · = (.g‘𝐺)
2		fvi 6255	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = 𝐺)
3	2	eqcomd 2628	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → 𝐺 = ( I ‘𝐺))
4	3	fveq2d 6195	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
5		fvprc 6185	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = ∅)
6		fvprc 6185	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → ( I ‘𝐺) = ∅)
7	6	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = (.g‘∅))
8		base0 15912	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
9		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (.g‘∅) = (.g‘∅)
10	8, 9	mulgfn 17544	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘∅) Fn (ℤ × ∅)
11		xp0 5552	. . . . . . . 8 ⊢ (ℤ × ∅) = ∅
12	11	fneq2i 5986	. . . . . . 7 ⊢ ((.g‘∅) Fn (ℤ × ∅) ↔ (.g‘∅) Fn ∅)
13	10, 12	mpbi 220	. . . . . 6 ⊢ (.g‘∅) Fn ∅
14		fn0 6011	. . . . . 6 ⊢ ((.g‘∅) Fn ∅ ↔ (.g‘∅) = ∅)
15	13, 14	mpbi 220	. . . . 5 ⊢ (.g‘∅) = ∅
16	7, 15	syl6eq 2672	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘( I ‘𝐺)) = ∅)
17	5, 16	eqtr4d 2659	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺)))
18	4, 17	pm2.61i 176	. 2 ⊢ (.g‘𝐺) = (.g‘( I ‘𝐺))
19	1, 18	eqtri 2644	1 ⊢ · = (.g‘( I ‘𝐺))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200  ∅c0 3915   I cid 5023   × cxp 5112   Fn wfn 5883  ‘cfv 5888  ℤcz 11377  ._gcmg 17540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-neg 10269  df-z 11378  df-seq 12802  df-slot 15861  df-base 15863  df-mulg 17541

This theorem is referenced by: (None)