Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | neibastop2.s |
. . . . 5
⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅} |
2 | | ssrab2 3687 |
. . . . 5
⊢ {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅} ⊆ 𝑋 |
3 | 1, 2 | eqsstri 3635 |
. . . 4
⊢ 𝑆 ⊆ 𝑋 |
4 | | neibastop1.1 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉) |
5 | | elpw2g 4827 |
. . . . 5
⊢ (𝑋 ∈ 𝑉 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋)) |
6 | 4, 5 | syl 17 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑋)) |
7 | 3, 6 | mpbiri 248 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝒫 𝑋) |
8 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑥)) |
9 | 8 | ineq1d 3813 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) |
10 | 9 | neeq1d 2853 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
11 | 10 | rexbidv 3052 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
12 | 11, 1 | elrab2 3366 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
13 | | frfnom 7530 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(rec((𝑎 ∈ V
↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω) Fn
ω |
14 | | neibastop2.g |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω) |
15 | 14 | fneq1i 5985 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω) Fn
ω) |
16 | 13, 15 | mpbir 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝐺 Fn ω |
17 | | fnunirn 6511 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐺 Fn ω → (𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) |
18 | 16, 17 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) |
19 | | n0 3931 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) |
20 | | inss1 3833 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ⊆ (𝐹‘𝑥) |
21 | 20 | sseli 3599 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥)) |
22 | | neibastop1.6 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) |
23 | 22 | anassrs 680 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥)) → ∃𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) |
24 | 21, 23 | sylan2 491 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) |
25 | 24 | adantrl 752 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) |
26 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) |
27 | | fvssunirn 6217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝐹‘𝑥) ⊆ ∪ ran
𝐹 |
28 | | neibastop1.2 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖
{∅})) |
29 | | frn 6053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}) → ran
𝐹 ⊆ (𝒫
𝒫 𝑋 ∖
{∅})) |
30 | 28, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖
{∅})) |
31 | 30 | difss2d 3740 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋) |
32 | | sspwuni 4611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (ran
𝐹 ⊆ 𝒫
𝒫 𝑋 ↔ ∪ ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋) |
33 | 31, 32 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋) |
34 | 33 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∪ ran
𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋) |
35 | 27, 34 | syl5ss 3614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐹‘𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋) |
36 | 35 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝑋) |
37 | 36 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) → 𝑡 ⊆ 𝑋) |
38 | 37 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑡) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
39 | 38 | adantrr 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
40 | | simprlr 803 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) |
41 | | rspe 3003 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) |
42 | 41 | ad2ant2l 782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) |
43 | | eliun 4524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
44 | | pweq 4161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝑧 = 𝑓 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑓) |
45 | 44 | ineq2d 3814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝑧 = 𝑓 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) |
46 | 45 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝑧 = 𝑓 → (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) |
47 | 46 | rexbidv 3052 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝑧 = 𝑓 → (∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) |
48 | 43, 47 | syl5bb 272 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝑧 = 𝑓 → (𝑣 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) |
49 | 48 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)𝑣 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
50 | 40, 42, 49 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)𝑣 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
51 | | eliun 4524 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑣 ∈ ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)𝑣 ∈ ∪
𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
52 | 50, 51 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ ∪
𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
53 | | simpll 790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝜑) |
54 | | simprll 802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑘 ∈ ω) |
55 | | fvssunirn 6217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝐺‘𝑘) ⊆ ∪ ran
𝐺 |
56 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘∅)) |
57 | 14 | fveq1i 6192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾
ω)‘∅) |
58 | | snex 4908 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ {𝑈} ∈ V |
59 | | fr0g 7531 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ({𝑈} ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)‘∅) = {𝑈}) |
60 | 58, 59 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢
((rec((𝑎 ∈ V
↦ ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)‘∅) = {𝑈} |
61 | 57, 60 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝐺‘∅) = {𝑈} |
62 | 56, 61 | syl6eq 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑛 = ∅ → (𝐺‘𝑛) = {𝑈}) |
63 | 62 | sseq1d 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑛 = ∅ → ((𝐺‘𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑈} ⊆ 𝒫 𝑈)) |
64 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘𝑘)) |
65 | 64 | sseq1d 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
66 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝑛 = suc 𝑘 → (𝐺‘𝑛) = (𝐺‘suc 𝑘)) |
67 | 66 | sseq1d 3632 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑛 = suc 𝑘 → ((𝐺‘𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
68 | | neibastop2.f |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃)) |
69 | | pwidg 4173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ (𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈) |
70 | 68, 69 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈) |
71 | 70 | snssd 4340 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝜑 → {𝑈} ⊆ 𝒫 𝑈) |
72 | | simprl 794 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑘 ∈ ω) |
73 | 68 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃)) |
74 | | pwexg 4850 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃) → 𝒫 𝑈 ∈ V) |
75 | 73, 74 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝒫 𝑈 ∈ V) |
76 | | inss2 3834 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑧 |
77 | | elpwi 4168 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 47
⊢ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑈 → 𝑧 ⊆ 𝑈) |
78 | 77 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑧 ⊆ 𝑈) |
79 | | sspwb 4917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 46
⊢ (𝑧 ⊆ 𝑈 ↔ 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 𝑈) |
80 | 78, 79 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 45
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 𝑈) |
81 | 76, 80 | syl5ss 3614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 44
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
82 | 81 | ralrimivw 2967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
83 | | iunss 4561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 43
⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
84 | 82, 83 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → ∪
𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
85 | 84 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
86 | | ssralv 3666 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 42
⊢ ((𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 → ∀𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
87 | 86 | adantl 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 41
⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈) → (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 → ∀𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
88 | 85, 87 | mpan9 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → ∀𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
89 | | iunss 4561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 40
⊢ (∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
90 | 88, 89 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈) |
91 | 75, 90 | ssexd 4805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ∈ V) |
92 | | iuneq1 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑦 = 𝑎 → ∪
𝑧 ∈ 𝑦 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = ∪ 𝑧 ∈ 𝑎 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
93 | | iuneq1 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑘) → ∪
𝑧 ∈ 𝑦 ∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
94 | 14, 92, 93 | frsucmpt2 7535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
⊢ ((𝑘 ∈ ω ∧ ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑘) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
95 | 72, 91, 94 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → (𝐺‘suc 𝑘) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
96 | 95, 90 | eqsstrd 3639 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈) |
97 | 96 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ω) → ((𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
98 | 97 | expcom 451 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈))) |
99 | 63, 65, 67, 71, 98 | finds2 7094 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈)) |
100 | | fvex 6201 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
⊢ (𝐺‘𝑛) ∈ V |
101 | 100 | elpw 4164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
⊢ ((𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺‘𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈) |
102 | 99, 101 | syl6ibr 242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
⊢ (𝑛 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)) |
103 | 102 | com12 32 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ω → (𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)) |
104 | 103 | ralrimiv 2965 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈) |
105 | | ffnfv 6388 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
⊢ (𝐺:ω⟶𝒫
𝒫 𝑈 ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)) |
106 | 16, 105 | mpbiran 953 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
⊢ (𝐺:ω⟶𝒫
𝒫 𝑈 ↔
∀𝑛 ∈ ω
(𝐺‘𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈) |
107 | 104, 106 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝜑 → 𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈) |
108 | | frn 6053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (𝐺:ω⟶𝒫
𝒫 𝑈 → ran
𝐺 ⊆ 𝒫
𝒫 𝑈) |
109 | 107, 108 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑈) |
110 | | sspwuni 4611 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (ran
𝐺 ⊆ 𝒫
𝒫 𝑈 ↔ ∪ ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈) |
111 | 109, 110 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (𝜑 → ∪ ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈) |
112 | 111 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∪ ran
𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈) |
113 | 55, 112 | syl5ss 3614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈) |
114 | 53, 54, 113, 95 | syl12anc 1324 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺‘suc 𝑘) = ∪ 𝑧 ∈ (𝐺‘𝑘)∪ 𝑥 ∈ 𝑋 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)) |
115 | 52, 114 | eleqtrrd 2704 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ (𝐺‘suc 𝑘)) |
116 | | peano2 7086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈
ω) |
117 | 54, 116 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → suc 𝑘 ∈ ω) |
118 | | fnfvelrn 6356 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺) |
119 | 16, 117, 118 | sylancr 695 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺) |
120 | | elunii 4441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑣 ∈ (𝐺‘suc 𝑘) ∧ (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺) → 𝑣 ∈ ∪ ran
𝐺) |
121 | 115, 119,
120 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ ∪ ran
𝐺) |
122 | 121 | ad2antrr 762 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑣 ∈ ∪ ran
𝐺) |
123 | | simprr 796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) |
124 | | pweq 4161 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑓 = 𝑣 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑣) |
125 | 124 | ineq2d 3814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑓 = 𝑣 → ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣)) |
126 | 125 | neeq1d 2853 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑓 = 𝑣 → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) |
127 | 126 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑣 ∈ ∪ ran 𝐺 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) → ∃𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) |
128 | 122, 123,
127 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ∃𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) |
129 | 1 | rabeq2i 3197 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑦 ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
130 | 39, 128, 129 | sylanbrc 698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑡 ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ 𝑆) |
131 | 130 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) ∧ 𝑦 ∈ 𝑡) → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑆)) |
132 | 131 | ralimdva 2962 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥)) → (∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅ → ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑦 ∈ 𝑆)) |
133 | 132 | impr 649 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑦 ∈ 𝑆) |
134 | | dfss3 3592 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑡 ⊆ 𝑆 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝑡 𝑦 ∈ 𝑆) |
135 | 133, 134 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡 ⊆ 𝑆) |
136 | | selpw 4165 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑡 ∈ 𝒫 𝑆 ↔ 𝑡 ⊆ 𝑆) |
137 | 135, 136 | sylibr 224 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝑆) |
138 | | inelcm 4032 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅) |
139 | 26, 137, 138 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹‘𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑡 ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅) |
140 | 25, 139 | rexlimddv 3035 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅) |
141 | 140 | expr 643 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) → (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
142 | 141 | exlimdv 1861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) → (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
143 | 19, 142 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
144 | 143 | rexlimdvaa 3032 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))) |
145 | 18, 144 | syl5bi 232 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))) |
146 | 145 | rexlimdv 3030 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
147 | 146 | expimpd 629 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
148 | 12, 147 | syl5bi 232 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
149 | 148 | ralrimiv 2965 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅) |
150 | | pweq 4161 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑜 = 𝑆 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑆) |
151 | 150 | ineq2d 3814 |
. . . . . 6
⊢ (𝑜 = 𝑆 → ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆)) |
152 | 151 | neeq1d 2853 |
. . . . 5
⊢ (𝑜 = 𝑆 → (((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
153 | 152 | raleqbi1dv 3146 |
. . . 4
⊢ (𝑜 = 𝑆 → (∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
154 | | neibastop1.4 |
. . . 4
⊢ 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥 ∈ 𝑜 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅} |
155 | 153, 154 | elrab2 3366 |
. . 3
⊢ (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ((𝐹‘𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)) |
156 | 7, 149, 155 | sylanbrc 698 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽) |
157 | | neibastop2.p |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑋) |
158 | | snidg 4206 |
. . . . . 6
⊢ (𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃) → 𝑈 ∈ {𝑈}) |
159 | 68, 158 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ {𝑈}) |
160 | | peano1 7085 |
. . . . . . 7
⊢ ∅
∈ ω |
161 | | fnfvelrn 6356 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈
ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺) |
162 | 16, 160, 161 | mp2an 708 |
. . . . . 6
⊢ (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺 |
163 | 61, 162 | eqeltrri 2698 |
. . . . 5
⊢ {𝑈} ∈ ran 𝐺 |
164 | | elunii 4441 |
. . . . 5
⊢ ((𝑈 ∈ {𝑈} ∧ {𝑈} ∈ ran 𝐺) → 𝑈 ∈ ∪ ran
𝐺) |
165 | 159, 163,
164 | sylancl 694 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∪ ran
𝐺) |
166 | | inelcm 4032 |
. . . . 5
⊢ ((𝑈 ∈ (𝐹‘𝑃) ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅) |
167 | 68, 70, 166 | syl2anc 693 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅) |
168 | | pweq 4161 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 = 𝑈 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑈) |
169 | 168 | ineq2d 3814 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 = 𝑈 → ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑈)) |
170 | 169 | neeq1d 2853 |
. . . . 5
⊢ (𝑓 = 𝑈 → (((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅)) |
171 | 170 | rspcev 3309 |
. . . 4
⊢ ((𝑈 ∈ ∪ ran 𝐺 ∧ ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅) → ∃𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) |
172 | 165, 167,
171 | syl2anc 693 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) |
173 | | fveq2 6191 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑦 = 𝑃 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑃)) |
174 | 173 | ineq1d 3813 |
. . . . . 6
⊢ (𝑦 = 𝑃 → ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓)) |
175 | 174 | neeq1d 2853 |
. . . . 5
⊢ (𝑦 = 𝑃 → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
176 | 175 | rexbidv 3052 |
. . . 4
⊢ (𝑦 = 𝑃 → (∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
177 | 176, 1 | elrab2 3366 |
. . 3
⊢ (𝑃 ∈ 𝑆 ↔ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) |
178 | 157, 172,
177 | sylanbrc 698 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ 𝑆) |
179 | | eluni2 4440 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑓 ∈ ∪ ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓 ∈ 𝑧) |
180 | | eleq2 2690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = (𝐺‘𝑘) → (𝑓 ∈ 𝑧 ↔ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) |
181 | 180 | rexrn 6361 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝐺 Fn ω → (∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘))) |
182 | 16, 181 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑧 ∈ ran
𝐺 𝑓 ∈ 𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) |
183 | 107 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → 𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈) |
184 | 183 | ffvelrnda 6359 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈) |
185 | 184 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝐺‘𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈) |
186 | 185 | sselda 3603 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑈) |
187 | 186 | adantrr 753 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑈) |
188 | 187 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓 ⊆ 𝑈) |
189 | | neibastop2.u |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝑁) |
190 | 189 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑈 ⊆ 𝑁) |
191 | 188, 190 | sstrd 3613 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓 ⊆ 𝑁) |
192 | | n0 3931 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓)) |
193 | | elin 3796 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ↔ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓)) |
194 | | simprrr 805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓) |
195 | 194 | elpwid 4170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ⊆ 𝑓) |
196 | | simpllr 799 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦 ∈ 𝑋) |
197 | | neibastop1.5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥))) → 𝑥 ∈ 𝑣) |
198 | 197 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑣)) |
199 | 198 | ralrimiva 2966 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑣)) |
200 | 199 | ad3antrrr 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑣)) |
201 | | simprrl 804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦)) |
202 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦)) |
203 | 202 | eleq2d 2687 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦))) |
204 | | elequ1 1997 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑣 ↔ 𝑦 ∈ 𝑣)) |
205 | 203, 204 | imbi12d 334 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑣) ↔ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑣))) |
206 | 205 | rspcv 3305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑦 ∈ 𝑋 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑥) → 𝑥 ∈ 𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) → 𝑦 ∈ 𝑣))) |
207 | 196, 200,
201, 206 | syl3c 66 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦 ∈ 𝑣) |
208 | 195, 207 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦 ∈ 𝑓) |
209 | 208 | expr 643 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) → ((𝑣 ∈ (𝐹‘𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓) → 𝑦 ∈ 𝑓)) |
210 | 193, 209 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) → (𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑦 ∈ 𝑓)) |
211 | 210 | exlimdv 1861 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) → (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑦 ∈ 𝑓)) |
212 | 192, 211 | syl5bi 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘)) → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑓)) |
213 | 212 | impr 649 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ 𝑓) |
214 | 191, 213 | sseldd 3604 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) ∧ ((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑦 ∈ 𝑁) |
215 | 214 | exp32 631 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑁))) |
216 | 215 | rexlimdva 3031 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺‘𝑘) → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑁))) |
217 | 182, 216 | syl5bi 232 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓 ∈ 𝑧 → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑁))) |
218 | 179, 217 | syl5bi 232 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺 → (((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑁))) |
219 | 218 | rexlimdv 3030 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋) → (∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦 ∈ 𝑁)) |
220 | 219 | 3impia 1261 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑋 ∧ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) → 𝑦 ∈ 𝑁) |
221 | 220 | rabssdv 3682 |
. . 3
⊢ (𝜑 → {𝑦 ∈ 𝑋 ∣ ∃𝑓 ∈ ∪ ran
𝐺((𝐹‘𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅} ⊆ 𝑁) |
222 | 1, 221 | syl5eqss 3649 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑁) |
223 | | eleq2 2690 |
. . . 4
⊢ (𝑢 = 𝑆 → (𝑃 ∈ 𝑢 ↔ 𝑃 ∈ 𝑆)) |
224 | | sseq1 3626 |
. . . 4
⊢ (𝑢 = 𝑆 → (𝑢 ⊆ 𝑁 ↔ 𝑆 ⊆ 𝑁)) |
225 | 223, 224 | anbi12d 747 |
. . 3
⊢ (𝑢 = 𝑆 → ((𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑁) ↔ (𝑃 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁))) |
226 | 225 | rspcev 3309 |
. 2
⊢ ((𝑆 ∈ 𝐽 ∧ (𝑃 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑁)) → ∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑁)) |
227 | 156, 178,
222, 226 | syl12anc 1324 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑢 ∈ 𝐽 (𝑃 ∈ 𝑢 ∧ 𝑢 ⊆ 𝑁)) |