Theorem peano2 7086

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's five postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
peano2	⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 7081	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ω ↔ suc 𝐴 ∈ ω)
2	1	biimpi 206	1 ⊢ (𝐴 ∈ ω → suc 𝐴 ∈ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990  suc csuc 5725  ωcom 7065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-om 7066

This theorem is referenced by:  onnseq  7441  seqomlem1  7545  seqomlem4  7548  onasuc  7608  onmsuc  7609  onesuc  7610  nnacl  7691  nnecl  7693  nnacom  7697  nnmsucr  7705  1onn  7719  2onn  7720  3onn  7721  4onn  7722  nnneo  7731  nneob  7732  omopthlem1  7735  onomeneq  8150  dif1en  8193  findcard  8199  findcard2  8200  unbnn2  8217  dffi3  8337  wofib  8450  axinf2  8537  dfom3  8544  noinfep  8557  cantnflt  8569  trcl  8604  cardsucnn  8811  dif1card  8833  fseqdom  8849  alephfp  8931  ackbij1lem16  9057  ackbij2lem2  9062  ackbij2lem3  9063  ackbij2  9065  sornom  9099  infpssrlem4  9128  fin23lem26  9147  fin23lem20  9159  fin23lem38  9171  fin23lem39  9172  isf32lem2  9176  isf32lem3  9177  isf34lem7  9201  isf34lem6  9202  fin1a2lem6  9227  fin1a2lem9  9230  fin1a2lem12  9233  domtriomlem  9264  axdc2lem  9270  axdc3lem  9272  axdc3lem2  9273  axdc3lem4  9275  axdc4lem  9277  axdclem2  9342  peano2nn  11032  om2uzrani  12751  uzrdgsuci  12759  fzennn  12767  axdc4uzlem  12782  bnj970  31017  trpredtr  31730  elhf2  32282  0hf  32284  hfsn  32286  hfpw  32292  neibastop2lem  32355  finxpsuclem  33234