Theorem noreson 31813

Description: The restriction of a surreal to an ordinal is still a surreal. (Contributed by Scott Fenton, 4-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
noreson	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem noreson

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elno 31799	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})
2		onin 5754	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ On)
3		fresin 6073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (𝐴 ↾ 𝐵):(𝑥 ∩ 𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜})
4		feq2 6027	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∩ 𝐵) → ((𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ (𝐴 ↾ 𝐵):(𝑥 ∩ 𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜}))
5	4	rspcev 3309	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ On ∧ (𝐴 ↾ 𝐵):(𝑥 ∩ 𝐵)⟶{1𝑜, 2𝑜}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
6	2, 3, 5	syl2an 494	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
7	6	an32s 846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
8	7	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜}))
9	8	rexlimiva 3028	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → (𝐵 ∈ On → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜}))
10	9	imp 445	. . 3 ⊢ ((∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
11	1, 10	sylanb 489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ On) → ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
12		elno 31799	. 2 ⊢ ((𝐴 ↾ 𝐵) ∈ No ↔ ∃𝑦 ∈ On (𝐴 ↾ 𝐵):𝑦⟶{1𝑜, 2𝑜})
13	11, 12	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 ↾ 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ∩ cin 3573  {cpr 4179   ↾ cres 5116  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   No csur 31793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-no 31796

This theorem is referenced by:  sltres  31815  nodenselem6  31839  noresle  31846  nosupbnd1lem1  31854  nosupbnd1lem2  31855  nosupbnd1lem6  31859  nosupbnd1  31860  nosupbnd2lem1  31861  nosupbnd2  31862  noetalem3  31865