Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | ralcom 3098 |
. . 3
⊢
(∀𝑎 ∈
𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 <s 𝑏 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑏) |
2 | | simplll 798 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ No
) |
3 | | simpllr 799 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ V) |
4 | | simprl 794 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) → 𝐵 ⊆ No
) |
5 | 4 | sselda 3603 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → 𝑏 ∈ No
) |
6 | | noetalem.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑆 = if(∃𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {〈dom (℩𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜〉}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥∃𝑢 ∈ 𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣 ∈ 𝐴 (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢‘𝑔) = 𝑥)))) |
7 | 6 | nosupbnd2 31862 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V
∧ 𝑏 ∈ No ) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) |
8 | 2, 3, 5, 7 | syl3anc 1326 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑏 ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) |
9 | | simpl 473 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
10 | | ssel2 3598 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐵 ⊆
No ∧ 𝑏 ∈
𝐵) → 𝑏 ∈
No ) |
11 | 4, 9, 10 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑏 ∈ No
) |
12 | | nodmord 31806 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 ∈
No → Ord dom 𝑏) |
13 | | ordirr 5741 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Ord dom
𝑏 → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏) |
14 | 11, 12, 13 | 3syl 18 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏) |
15 | | ssun2 3777 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ suc ∪ ( bday “ 𝐵) ⊆ (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
16 | | bdayval 31801 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈
No → ( bday ‘𝑏) = dom 𝑏) |
17 | 11, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday
‘𝑏) = dom
𝑏) |
18 | | bdayfo 31828 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ bday : No –onto→On |
19 | | fofn 6117 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ( bday : No –onto→On → bday
Fn No ) |
20 | 18, 19 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ bday Fn No
|
21 | | fnfvima 6496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (( bday Fn No ∧ 𝐵 ⊆
No ∧ 𝑏 ∈
𝐵) → ( bday ‘𝑏) ∈ ( bday
“ 𝐵)) |
22 | 20, 21 | mp3an1 1411 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝐵 ⊆
No ∧ 𝑏 ∈
𝐵) → ( bday ‘𝑏) ∈ ( bday
“ 𝐵)) |
23 | 4, 9, 22 | syl2an 494 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ( bday
‘𝑏) ∈
( bday “ 𝐵)) |
24 | 17, 23 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ ( bday
“ 𝐵)) |
25 | | elssuni 4467 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (dom
𝑏 ∈ ( bday “ 𝐵) → dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵)) |
26 | 24, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵)) |
27 | | nodmon 31803 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 ∈
No → dom 𝑏
∈ On) |
28 | | imassrn 5477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( bday “ 𝐵) ⊆ ran bday
|
29 | | forn 6118 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ( bday : No –onto→On → ran
bday = On) |
30 | 18, 29 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ran bday = On |
31 | 28, 30 | sseqtri 3637 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ( bday “ 𝐵) ⊆ On |
32 | | ssorduni 6985 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (( bday “ 𝐵) ⊆ On → Ord ∪ ( bday “ 𝐵)) |
33 | 31, 32 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ Ord ∪ ( bday “ 𝐵) |
34 | | ordsssuc 5812 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((dom
𝑏 ∈ On ∧ Ord ∪ ( bday “ 𝐵)) → (dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
35 | 33, 34 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (dom
𝑏 ∈ On → (dom
𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
36 | 11, 27, 35 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
37 | 26, 36 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
38 | 15, 37 | sseldi 3601 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
39 | | eleq2 2690 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((dom
𝑆 ∪ suc ∪ ( bday “ 𝐵)) = dom 𝑏 → (dom 𝑏 ∈ (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) ↔ dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)) |
40 | 38, 39 | syl5ibcom 235 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ((dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) = dom 𝑏 → dom 𝑏 ∈ dom 𝑏)) |
41 | 14, 40 | mtod 189 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) = dom 𝑏) |
42 | | noetalem.2 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑍 = (𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})) |
43 | 42 | dmeqi 5325 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ dom 𝑍 = dom (𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})) |
44 | | dmun 5331 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ dom
(𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom
𝑆 ∪ dom ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})) |
45 | 43, 44 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ dom ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})) |
46 | | 1on 7567 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
1𝑜 ∈ On |
47 | 46 | elexi 3213 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
1𝑜 ∈ V |
48 | 47 | snnz 4309 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
{1𝑜} ≠ ∅ |
49 | | dmxp 5344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
({1𝑜} ≠ ∅ → dom ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
50 | 48, 49 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ dom ((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) = (suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) |
51 | 50 | uneq2i 3764 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (dom
𝑆 ∪ dom ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) = (dom
𝑆 ∪ (suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
52 | | undif2 4044 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (dom
𝑆 ∪ (suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
53 | 45, 51, 52 | 3eqtri 2648 |
. . . . . . . . 9
⊢ dom 𝑍 = (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
54 | | dmeq 5324 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑍 = 𝑏 → dom 𝑍 = dom 𝑏) |
55 | 53, 54 | syl5eqr 2670 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑍 = 𝑏 → (dom 𝑆 ∪ suc ∪
( bday “ 𝐵)) = dom 𝑏) |
56 | 41, 55 | nsyl 135 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → ¬ 𝑍 = 𝑏) |
57 | | df-ne 2795 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑍 ≠ 𝑏 ↔ ¬ 𝑍 = 𝑏) |
58 | | notnotr 125 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
¬ dom (𝑏 ↾ dom
𝑆) = dom 𝑆 → dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆) |
59 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) |
60 | 59 | fvresd 6208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
61 | 42 | reseq1i 5392 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾
dom 𝑆) |
62 | | resundir 5411 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑆 ∪ ((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜})) ↾
dom 𝑆) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾
dom 𝑆)) |
63 | | df-res 5126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾
dom 𝑆) = (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩
(dom 𝑆 ×
V)) |
64 | | incom 3805 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ ((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = (dom 𝑆 ∩ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
65 | | disjdif 4040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
⊢ (dom
𝑆 ∩ (suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅ |
66 | 64, 65 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ ((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ |
67 | | xpdisj1 5555 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
⊢ (((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∩ dom 𝑆) = ∅ → (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩
(dom 𝑆 × V)) =
∅) |
68 | 66, 67 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ (((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ∩
(dom 𝑆 × V)) =
∅ |
69 | 63, 68 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾
dom 𝑆) =
∅ |
70 | 69 | uneq2i 3764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾
dom 𝑆)) = ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) |
71 | | un0 3967 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ ∅) = (𝑆 ↾ dom 𝑆) |
72 | 70, 71 | eqtri 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑆 ↾ dom 𝑆) ∪ (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) ↾
dom 𝑆)) = (𝑆 ↾ dom 𝑆) |
73 | 61, 62, 72 | 3eqtri 2648 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑍 ↾ dom 𝑆) = (𝑆 ↾ dom 𝑆) |
74 | | simplll 798 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → (𝐴 ⊆ No
∧ 𝐴 ∈
V)) |
75 | 6 | nosupno 31849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) → 𝑆 ∈ No ) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑆 ∈ No
) |
77 | 76 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑆 ∈ No
) |
78 | | nofun 31802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑆 ∈
No → Fun 𝑆) |
79 | 77, 78 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun 𝑆) |
80 | | funrel 5905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (Fun
𝑆 → Rel 𝑆) |
81 | | resdm 5441 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (Rel
𝑆 → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) |
82 | 79, 80, 81 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) |
83 | 73, 82 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) |
84 | 83 | fveq1d 6193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
85 | 60, 84 | eqtr3d 2658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
86 | | simp-4l 806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝐴 ⊆ No
) |
87 | | simp-4r 807 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝐴 ∈ V) |
88 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 ∈ V) |
89 | 88 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝐵 ∈ V) |
90 | 6, 42 | noetalem1 31863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V
∧ 𝐵 ∈ V) →
𝑍 ∈ No ) |
91 | 86, 87, 89, 90 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑍 ∈ No
) |
92 | 91 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 ∈ No
) |
93 | 11 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ No
) |
94 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑏 ∈ No
) |
95 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 ≠ 𝑏) |
96 | | nosepne 31831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑍 ∈
No ∧ 𝑏 ∈
No ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ (𝑏‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
97 | 92, 94, 95, 96 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ (𝑏‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
98 | 85, 97 | eqnetrrd 2862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ (𝑏‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
99 | 59 | fvresd 6208 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (𝑏‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
100 | 98, 99 | neeqtrrd 2868 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
101 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑞 = ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} → ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
102 | | fveq2 6191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑞 = ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} → (𝑆‘𝑞) = (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
103 | 101, 102 | neeq12d 2855 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝑞 = ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} → (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆‘𝑞) ↔ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}))) |
104 | | df-ne 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) ≠ (𝑆‘𝑞) ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) |
105 | | necom 2847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ↔ (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
106 | 103, 104,
105 | 3bitr3g 302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑞 = ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} → (¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞) ↔ (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}))) |
107 | 106 | rspcev 3309 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∧ (𝑆‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) ≠ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) |
108 | 59, 100, 107 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) |
109 | | rexeq 3139 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (dom
(𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → (∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ dom 𝑆 ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
110 | 108, 109 | syl5ibrcom 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ∃𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
111 | | rexnal 2995 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(∃𝑞 ∈ dom
(𝑏 ↾ dom 𝑆) ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞) ↔ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) |
112 | 110, 111 | syl6ib 241 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
113 | 58, 112 | syl5 34 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ ¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 → ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
114 | 113 | orrd 393 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
115 | | nofun 31802 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈
No → Fun 𝑏) |
116 | | funres 5929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (Fun
𝑏 → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆)) |
117 | 94, 115, 116 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → Fun (𝑏 ↾ dom 𝑆)) |
118 | | eqfunfv 6316 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((Fun
(𝑏 ↾ dom 𝑆) ∧ Fun 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)))) |
119 | 117, 79, 118 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)))) |
120 | | ianor 509 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (¬
(dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) ↔ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
121 | 120 | con1bii 346 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (¬
(¬ dom (𝑏 ↾ dom
𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) ↔ (dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∧ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞))) |
122 | 119, 121 | syl6bbr 278 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ↔ ¬ (¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)))) |
123 | 122 | con2bid 344 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((¬ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆) = dom 𝑆 ∨ ¬ ∀𝑞 ∈ dom (𝑏 ↾ dom 𝑆)((𝑏 ↾ dom 𝑆)‘𝑞) = (𝑆‘𝑞)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆)) |
124 | 114, 123 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆) |
125 | 124 | pm2.21d 118 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 → 𝑍 <s 𝑏)) |
126 | 83 | breq1d 4663 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) ↔ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))) |
127 | | nodmon 31803 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑆 ∈
No → dom 𝑆
∈ On) |
128 | 77, 127 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → dom 𝑆 ∈ On) |
129 | | sltres 31815 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑍 ∈
No ∧ 𝑏 ∈
No ∧ dom 𝑆 ∈ On) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)) |
130 | 92, 94, 128, 129 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑍 ↾ dom 𝑆) <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)) |
131 | 126, 130 | sylbird 250 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏)) |
132 | | simplrr 801 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) |
133 | 132 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆) |
134 | | noreson 31813 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑏 ∈
No ∧ dom 𝑆
∈ On) → (𝑏
↾ dom 𝑆) ∈ No ) |
135 | 94, 128, 134 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No
) |
136 | | sltso 31827 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ <s Or
No |
137 | | sotric 5061 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (( <s
Or No ∧ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No
∧ 𝑆 ∈ No )) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ∨ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))) |
138 | 136, 137 | mpan 706 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑏 ↾ dom 𝑆) ∈ No
∧ 𝑆 ∈ No ) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ∨ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))) |
139 | 135, 77, 138 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 ↔ ¬ ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ∨ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)))) |
140 | 139 | con2bid 344 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → (((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ∨ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆)) ↔ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) |
141 | 133, 140 | mpbird 247 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → ((𝑏 ↾ dom 𝑆) = 𝑆 ∨ 𝑆 <s (𝑏 ↾ dom 𝑆))) |
142 | 125, 131,
141 | mpjaod 396 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) → 𝑍 <s 𝑏) |
143 | 91 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑍 ∈ No
) |
144 | 93 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑏 ∈ No
) |
145 | | simplr 792 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑍 ≠ 𝑏) |
146 | 42 | fveq1i 6192 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑍‘∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = ((𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜}))‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) |
147 | | simp-4l 806 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (𝐴 ⊆ No
∧ 𝐴 ∈
V)) |
148 | 147, 75, 78 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → Fun 𝑆) |
149 | | funfn 5918 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (Fun
𝑆 ↔ 𝑆 Fn dom 𝑆) |
150 | 148, 149 | sylib 208 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑆 Fn dom 𝑆) |
151 | 47 | fconst 6091 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜} |
152 | | ffn 6045 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}):(suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)⟶{1𝑜} →
((suc ∪ ( bday “
𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜}) Fn (suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
153 | 151, 152 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) |
154 | 153 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
155 | 65 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (dom 𝑆 ∩ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅) |
156 | | necom 2847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝) ↔ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝)) |
157 | 156 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑝 ∈ On → ((𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝) ↔ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝))) |
158 | 157 | rabbiia 3185 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} = {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝)} |
159 | 158 | inteqi 4479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} = ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝)} |
160 | 145 | necomd 2849 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑏 ≠ 𝑍) |
161 | | nosepssdm 31836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑏 ∈
No ∧ 𝑍 ∈
No ∧ 𝑏 ≠ 𝑍) → ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏) |
162 | 144, 143,
160, 161 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑏‘𝑝) ≠ (𝑍‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏) |
163 | 159, 162 | syl5eqss 3649 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏) |
164 | 144, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ( bday
‘𝑏) = dom
𝑏) |
165 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝐵 ⊆ No
) |
166 | 165 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝐵 ⊆ No
) |
167 | 166 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝐵 ⊆ No
) |
168 | | simplrl 800 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
169 | 168 | adantr 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑏 ∈ 𝐵) |
170 | 167, 169,
22 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ( bday
‘𝑏) ∈
( bday “ 𝐵)) |
171 | 164, 170 | eqeltrrd 2702 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ ( bday
“ 𝐵)) |
172 | 171, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵)) |
173 | 144, 27, 35 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (dom 𝑏 ⊆ ∪ ( bday “ 𝐵) ↔ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
174 | 172, 173 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
175 | | nosepon 31818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑍 ∈
No ∧ 𝑏 ∈
No ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ On) |
176 | 143, 144,
145, 175 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ On) |
177 | | eloni 5733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ On → Ord ∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) |
178 | | ordsuc 7014 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (Ord
∪ ( bday “ 𝐵) ↔ Ord suc ∪ ( bday “ 𝐵)) |
179 | 33, 178 | mpbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ Ord suc
∪ ( bday “ 𝐵) |
180 | | ordtr2 5768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((Ord
∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∧ Ord suc ∪
( bday “ 𝐵)) → ((∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
181 | 179, 180 | mpan2 707 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (Ord
∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} → ((∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
182 | 176, 177,
181 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ((∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ⊆ dom 𝑏 ∧ dom 𝑏 ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵))) |
183 | 163, 174,
182 | mp2and 715 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ suc ∪
( bday “ 𝐵)) |
184 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) |
185 | 147, 75, 127 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → dom 𝑆 ∈ On) |
186 | | ontri1 5757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((dom
𝑆 ∈ On ∧ ∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ On) → (dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ↔ ¬ ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆)) |
187 | 185, 176,
186 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ↔ ¬ ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆)) |
188 | 184, 187 | mpbid 222 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ¬ ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆) |
189 | 183, 188 | eldifd 3585 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) |
190 | | fvun2 6270 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑆 Fn dom 𝑆 ∧ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) × {1𝑜}) Fn (suc
∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ∧ ((dom 𝑆 ∩ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆)) = ∅ ∧ ∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆))) → ((𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜}))‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
191 | 150, 154,
155, 189, 190 | syl112anc 1330 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → ((𝑆 ∪ ((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜}))‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
192 | 146, 191 | syl5eq 2668 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
193 | 47 | fvconst2 6469 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (∩ {𝑝
∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ (suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) → (((suc ∪
( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = 1𝑜) |
194 | 189, 193 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (((suc ∪ ( bday “ 𝐵) ∖ dom 𝑆) ×
{1𝑜})‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = 1𝑜) |
195 | 192, 194 | eqtrd 2656 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = 1𝑜) |
196 | | nosep1o 31832 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑍 ∈
No ∧ 𝑏 ∈
No ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ (𝑍‘∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) = 1𝑜) → 𝑍 <s 𝑏) |
197 | 143, 144,
145, 195, 196 | syl31anc 1329 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) ∧ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) → 𝑍 <s 𝑏) |
198 | | simpr 477 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑍 ≠ 𝑏) |
199 | 91, 93, 198, 175 | syl3anc 1326 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ On) |
200 | 199, 177 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → Ord ∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)}) |
201 | | nodmord 31806 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑆 ∈
No → Ord dom 𝑆) |
202 | 74, 75, 201 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → Ord dom 𝑆) |
203 | | ordtri2or 5822 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((Ord
∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∧ Ord dom 𝑆) → (∩
{𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
204 | 200, 202,
203 | syl2anc 693 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → (∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)} ∈ dom 𝑆 ∨ dom 𝑆 ⊆ ∩ {𝑝 ∈ On ∣ (𝑍‘𝑝) ≠ (𝑏‘𝑝)})) |
205 | 142, 197,
204 | mpjaodan 827 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝐴 ⊆ No ∧ 𝐴 ∈ V) ∧ (𝐵 ⊆ No
∧ 𝐵 ∈ V)) ∧
(𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑏) → 𝑍 <s 𝑏) |
206 | 205 | ex 450 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (𝑍 ≠ 𝑏 → 𝑍 <s 𝑏)) |
207 | 57, 206 | syl5bir 233 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → (¬ 𝑍 = 𝑏 → 𝑍 <s 𝑏)) |
208 | 56, 207 | mpd 15 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ (𝑏 ∈ 𝐵 ∧ ¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆)) → 𝑍 <s 𝑏) |
209 | 208 | expr 643 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (¬ (𝑏 ↾ dom 𝑆) <s 𝑆 → 𝑍 <s 𝑏)) |
210 | 8, 209 | sylbid 230 |
. . . 4
⊢ ((((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑏 → 𝑍 <s 𝑏)) |
211 | 210 | ralimdva 2962 |
. . 3
⊢ (((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑏 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐴 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑍 <s 𝑏)) |
212 | 1, 211 | syl5bi 232 |
. 2
⊢ (((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V)) → (∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 <s 𝑏 → ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑍 <s 𝑏)) |
213 | 212 | 3impia 1261 |
1
⊢ (((𝐴 ⊆
No ∧ 𝐴 ∈
V) ∧ (𝐵 ⊆ No ∧ 𝐵 ∈ V) ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐴 ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑎 <s 𝑏) → ∀𝑏 ∈ 𝐵 𝑍 <s 𝑏) |