Theorem elno 31799

Description: Membership in the surreals. (Shortened proof on 2012-Apr-14, SF). (Contributed by Scott Fenton, 11-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
elno	⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem elno

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3212	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → 𝐴 ∈ V)
2		fex 6490	. . . 4 ⊢ ((𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ∧ 𝑥 ∈ On) → 𝐴 ∈ V)
3	2	ancoms 469	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ On ∧ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}) → 𝐴 ∈ V)
4	3	rexlimiva 3028	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} → 𝐴 ∈ V)
5		feq1 6026	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
6	5	rexbidv 3052	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝐴 → (∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜} ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
7		df-no 31796	. . 3 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}}
8	6, 7	elab2g 3353	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜}))
9	1, 4, 8	pm5.21nii 368	1 ⊢ (𝐴 ∈ No ↔ ∃𝑥 ∈ On 𝐴:𝑥⟶{1𝑜, 2𝑜})

Syntax hints:   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  Vcvv 3200  {cpr 4179  Oncon0 5723  ⟶wf 5884  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   No csur 31793

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-no 31796

This theorem is referenced by:  nofun  31802  nodmon  31803  norn  31804  elno2  31807  noreson  31813