Theorem osumcllem3N 35244

Description: Lemma for osumclN 35253. (Contributed by NM, 23-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
osumcllem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
osumcllem.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
osumcllem.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
osumcllem.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
osumcllem.o	⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
osumcllem.c	⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
osumcllem.m	⊢ 𝑀 = (𝑋 + {𝑝})
osumcllem.u	⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))

Assertion

Ref	Expression
osumcllem3N	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Proof of Theorem osumcllem3N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incom 3805	. 2 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
2		osumcllem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)))
3		simp1 1061	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
4		simp3 1063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌))
5		osumcllem.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
6		osumcllem.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (PSubCl‘𝐾)
7	5, 6	psubclssatN 35227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
8	7	3adant3 1081	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ 𝐴)
9		osumcllem.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ⊥ = (⊥𝑃‘𝐾)
10	5, 9	polssatN 35194	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
11	3, 8, 10	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘𝑌) ⊆ 𝐴)
12	4, 11	sstrd 3613	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑋 ⊆ 𝐴)
13		osumcllem.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
14	5, 13, 9	poldmj1N 35214	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
15	3, 12, 8, 14	syl3anc 1326	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)))
16		incom 3805	. . . . . . 7 ⊢ (( ⊥ ‘𝑋) ∩ ( ⊥ ‘𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))
17	15, 16	syl6eq 2672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌)) = (( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
18	17	fveq2d 6195	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝑋 + 𝑌))) = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
19	2, 18	syl5eq 2668	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑈 = ( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))))
20	19	ineq1d 3813	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)))
21	5, 9	polcon2N 35205	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
22	8, 21	syld3an2 1373	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋))
23	5, 9	poml5N 35240	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ ( ⊥ ‘𝑋)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
24	3, 12, 22, 23	syl3anc 1326	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘(( ⊥ ‘𝑌) ∩ ( ⊥ ‘𝑋))) ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)))
25	9, 6	psubcli2N 35225	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
26	25	3adant3 1081	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑌)) = 𝑌)
27	20, 24, 26	3eqtrd 2660	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (𝑈 ∩ ( ⊥ ‘𝑋)) = 𝑌)
28	1, 27	syl5eq 2668	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌 ∈ 𝐶 ∧ 𝑋 ⊆ ( ⊥ ‘𝑌)) → (( ⊥ ‘𝑋) ∩ 𝑈) = 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  {csn 4177  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  lecple 15948  joincjn 16944  Atomscatm 34550  HLchlt 34637  +_𝑃cpadd 35081  ⊥_𝑃cpolN 35188  PSubClcpscN 35220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-polarityN 35189  df-psubclN 35221

This theorem is referenced by:  osumcllem9N  35250