Theorem paddssat 35100

Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
padd0.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
padd0.p	⊢ + = (+𝑃‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
paddssat	⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Proof of Theorem paddssat

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
2		eqid 2622	. . 3 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
3		padd0.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4		padd0.p	. . 3 ⊢ + = (+𝑃‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	paddval 35084	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) = ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}))
6		unss 3787	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) ↔ (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
7	6	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴)
8		ssrab2 3687	. . . . 5 ⊢ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴
9	7, 8	jctir 561	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴))
10		unss 3787	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∪ 𝑌) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)} ⊆ 𝐴) ↔ ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
11	9, 10	sylib 208	. . 3 ⊢ ((𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
12	11	3adant1 1079	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → ((𝑋 ∪ 𝑌) ∪ {𝑝 ∈ 𝐴 ∣ ∃𝑞 ∈ 𝑋 ∃𝑟 ∈ 𝑌 𝑝(le‘𝐾)(𝑞(join‘𝐾)𝑟)}) ⊆ 𝐴)
13	5, 12	eqsstrd 3639	1 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑌 ⊆ 𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ⊆ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  {crab 2916   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  lecple 15948  joincjn 16944  Atomscatm 34550  +_𝑃cpadd 35081

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-padd 35082

This theorem is referenced by:  paddasslem8  35113  paddasslem11  35116  paddasslem12  35117  paddasslem13  35118  paddasslem16  35121  paddasslem17  35122  paddass  35124  padd4N  35126  paddclN  35128  pmodl42N  35137  pclunN  35184  paddunN  35213  pmapocjN  35216  pclfinclN  35236  osumcllem1N  35242  osumcllem2N  35243  osumcllem9N  35250  osumcllem11N  35252  osumclN  35253  pexmidlem6N  35261  pexmidlem8N  35263  pl42lem3N  35267