Theorem pclfinclN 35236

Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 35186 and also pclcmpatN 35187. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pclfincl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
pclfincl.c	⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
pclfincl.s	⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
pclfinclN	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem pclfinclN

Dummy variables 𝑞 𝑝 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ ∅ ⊆ 𝐴))
2	1	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴)))
3		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘∅))
4	3	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘∅) ∈ 𝑆))
5	2, 4	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)))
6		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
7	6	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)))
8		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑦))
9	8	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆))
10	7, 9	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)))
11		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
12	11	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)))
13		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
14	13	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
15	12, 14	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
16		sseq1 3626	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐴))
17	16	anbi2d 740	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴)))
18		fveq2 6191	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑈‘𝑥) = (𝑈‘𝑋))
19	18	eleq1d 2686	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆 ↔ (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
20	17, 19	imbi12d 334	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑥) ∈ 𝑆) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)))
21		pclfincl.c	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (PCl‘𝐾)
22	21	pcl0N 35208	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) = ∅)
23		pclfincl.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = (PSubCl‘𝐾)
24	23	0psubclN 35229	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∅ ∈ 𝑆)
25	22, 24	eqeltrd 2701	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
26	25	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → (𝑈‘∅) ∈ 𝑆)
27		anass 681	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)))
28		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
29	28	snss 4316	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐴)
30	29	anbi2i 730	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴))
31		unss 3787	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
32	30, 31	bitri 264	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
33	32	anbi2i 730	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) ↔ (𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴))
34	27, 33	bitr2i 265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) ↔ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
35		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 = ∅)
36	35	uneq1d 3766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = (∅ ∪ {𝑧}))
37		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = ({𝑧} ∪ ∅)
38		un0 3967	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑧} ∪ ∅) = {𝑧}
39	37, 38	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∅ ∪ {𝑧}) = {𝑧}
40	36, 39	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) = {𝑧})
41	40	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = (𝑈‘{𝑧}))
42		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
43		hlatl 34647	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ AtLat)
45		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
46		pclfincl.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
47		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (PSubSp‘𝐾) = (PSubSp‘𝐾)
48	46, 47	snatpsubN 35036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
49	44, 45, 48	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾))
50	47, 21	pclidN 35182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ {𝑧} ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
51	42, 49, 50	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘{𝑧}) = {𝑧})
52	41, 51	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = {𝑧})
53	46, 23	atpsubclN 35231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → {𝑧} ∈ 𝑆)
54	42, 45, 53	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ∈ 𝑆)
55	52, 54	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
56	55	exp43 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 = ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
57		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
58	46, 21	pclssidN 35181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
59	58	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦))
60		unss1 3782	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ⊆ (𝑈‘𝑦) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}))
62		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)
63	46, 23	psubclssatN 35227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
64	57, 62, 63	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴)
65		snssi 4339	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → {𝑧} ⊆ 𝐴)
66	65	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → {𝑧} ⊆ 𝐴)
67		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
68	46, 67	paddunssN 35094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
69	57, 64, 66, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
70	61, 69	sstrd 3613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
71	46, 67	paddssat 35100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ {𝑧} ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
72	57, 64, 66, 71	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴)
73	46, 21	pclssN 35180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
74	57, 70, 72, 73	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})))
75		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑧 ∈ 𝐴)
76	46, 67, 23	paddatclN 35235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
77	57, 62, 75, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆)
78	47, 23	psubclsubN 35226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ 𝑆) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
79	57, 77, 78	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾))
80	47, 21	pclidN 35182	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ∈ (PSubSp‘𝐾)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
81	57, 79, 80	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
82	74, 81	sseqtrd 3641	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ⊆ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
83		hllat 34650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
84	57, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
85		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ≠ ∅)
86	46, 21	pcl0bN 35209	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
87	86	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) = ∅ ↔ 𝑦 = ∅))
88	87	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦) ≠ ∅ ↔ 𝑦 ≠ ∅))
89	85, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘𝑦) ≠ ∅)
90		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
91		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
92	90, 91, 46, 67	elpaddat 35090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑈‘𝑦) ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ (𝑈‘𝑦) ≠ ∅) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
93	84, 64, 75, 89, 92	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ↔ (𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))))
94		simp1rl 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
95	94	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → 𝐾 ∈ HL)
96	95	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝐾 ∈ HL)
97		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾))
98		simpl13 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝐴)
99		unss 3787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) ↔ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)
100		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
101	99, 100	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑦 ⊆ 𝑤)
102	101	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑦 ⊆ 𝑤)
103		simpl2 1065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦))
104	47, 21	elpcliN 35179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
105	96, 102, 97, 103, 104	syl31anc 1329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑝 ∈ 𝑤)
106	28	snss 4316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑤 ↔ {𝑧} ⊆ 𝑤)
107	106	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ({𝑧} ⊆ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤)
108	107	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ⊆ 𝑤 ∧ {𝑧} ⊆ 𝑤) → 𝑧 ∈ 𝑤)
109	99, 108	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑧 ∈ 𝑤)
110	109	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑧 ∈ 𝑤)
111		simpl3 1066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))
112	90, 91, 46, 47	psubspi2N 35034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑝 ∈ 𝑤 ∧ 𝑧 ∈ 𝑤 ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧))) → 𝑞 ∈ 𝑤)
113	96, 97, 98, 105, 110, 111, 112	syl33anc 1341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ 𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) ∧ 𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) ∧ (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤)) → 𝑞 ∈ 𝑤)
114	113	exp520 1288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦) → (𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
115	114	rexlimdv 3030	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
116	115	3expia 1267	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ 𝐴 → (∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))))
117	116	impd 447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑞 ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑈‘𝑦)𝑞(le‘𝐾)(𝑝(join‘𝐾)𝑧)) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
118	93, 117	sylbid 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → (𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾) → ((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤))))
119	118	ralrimdv 2968	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
120		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → 𝑦 ⊆ 𝐴)
121	120, 75	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
122	121, 32	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴)
123		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑞 ∈ V
124	46, 47, 21, 123	elpclN 35178	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
125	57, 122, 124	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ ∀𝑤 ∈ (PSubSp‘𝐾)((𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝑤 → 𝑞 ∈ 𝑤)))
126	119, 125	sylibrd 249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑞 ∈ ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) → 𝑞 ∈ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
127	126	ssrdv 3609	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}) ⊆ (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
128	82, 127	eqssd 3620	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((𝑈‘𝑦)(+𝑃‘𝐾){𝑧}))
129	128, 77	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) ∧ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴)) ∧ ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴)) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)
130	129	exp43 640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ 𝑦 ≠ ∅) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
131	56, 130	pm2.61dane 2881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → ((𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆 → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
132	131	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))))
133	132	imp4b 613	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
134	34, 133	syl5bi 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ Fin ∧ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆)) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆))
135	134	ex 450	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑦) ∈ 𝑆) → ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑦 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐴) → (𝑈‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ∈ 𝑆)))
136	5, 10, 15, 20, 26, 135	findcard2 8200	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆))
137	136	3impib 1262	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)
138	137	3coml 1272	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ⊆ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (𝑈‘𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  ∃wrex 2913   ∪ cun 3572   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915  {csn 4177   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  Fincfn 7955  lecple 15948  joincjn 16944  Latclat 17045  Atomscatm 34550  AtLatcal 34551  HLchlt 34637  PSubSpcpsubsp 34782  +_𝑃cpadd 35081  PClcpclN 35173  PSubClcpscN 35220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-riotaBAD 34239

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-undef 7399  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-preset 16928  df-poset 16946  df-plt 16958  df-lub 16974  df-glb 16975  df-join 16976  df-meet 16977  df-p0 17039  df-p1 17040  df-lat 17046  df-clat 17108  df-oposet 34463  df-ol 34465  df-oml 34466  df-covers 34553  df-ats 34554  df-atl 34585  df-cvlat 34609  df-hlat 34638  df-psubsp 34789  df-pmap 34790  df-padd 35082  df-pclN 35174  df-polarityN 35189  df-psubclN 35221

This theorem is referenced by: (None)