Theorem rexanuz3 39275

Description: Combine two different upper integer properties into one, for a single integer. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
rexanuz3.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
rexanuz3.2	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
rexanuz3.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
rexanuz3.4	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
rexanuz3.5	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
rexanuz3.6	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))

Assertion

Ref	Expression
rexanuz3	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘   𝜒,𝑗   𝜓,𝑗   𝜏,𝑘   𝜃,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝜓(𝑘)   𝜒(𝑘)   𝜃(𝑗)   𝜏(𝑗)   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem rexanuz3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexanuz3.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒)
2		rexanuz3.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓)
3	1, 2	jca 554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
4		rexanuz3.2	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
5	4	rexanuz2 14089	. . 3 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜒 ∧ ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)𝜓))
6	3, 5	sylibr 224	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
7		rexanuz3.1	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
8	4	eleq2i 2693	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 ↔ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
9	8	biimpi 206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzelz 11697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
11		uzid 11702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑗 ∈ ℤ → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 ∈ 𝑍 → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗))
14		simpr 477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓))
15		rexanuz3.5	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜒 ↔ 𝜃))
16		rexanuz3.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝜓 ↔ 𝜏))
17	15, 16	anbi12d 747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → ((𝜒 ∧ 𝜓) ↔ (𝜃 ∧ 𝜏)))
18	17	rspcva 3307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑗) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
19	13, 14, 18	syl2anc 693	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝑍 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
20	19	adantll 750	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓)) → (𝜃 ∧ 𝜏))
21	20	ex 450	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏)))
22	21	ex 450	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 → (∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → (𝜃 ∧ 𝜏))))
23	7, 22	reximdai 3012	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑗 ∈ 𝑍 ∀𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑗)(𝜒 ∧ 𝜓) → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏)))
24	6, 23	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ 𝑍 (𝜃 ∧ 𝜏))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483  Ⅎwnf 1708   ∈ wcel 1990  ∀wral 2912  ∃wrex 2913  ‘cfv 5888  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  smflimlem4  40982