Theorem uzid 11702

Description: Membership of the least member in an upper set of integers. (Contributed by NM, 2-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzid	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Proof of Theorem uzid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 11381	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2	1	leidd 10594	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑀)
3	2	ancli 574	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀))
4		eluz1 11691	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑀)))
5	3, 4	mpbird 247	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uzn0  11703  uz11  11710  uzinfi  11768  uzsupss  11780  eluzfz1  12348  eluzfz2  12349  elfz3  12351  elfz1end  12371  fzssp1  12384  fzpred  12389  fzp1ss  12392  fzpr  12396  fztp  12397  elfz0add  12438  fzolb  12476  zpnn0elfzo  12540  fzosplitsnm1  12542  fzofzp1  12565  fzosplitsn  12576  fzostep1  12584  om2uzuzi  12748  axdc4uzlem  12782  seqf  12822  seqfveq  12825  seq1p  12835  faclbnd3  13079  bcm1k  13102  bcn2  13106  seqcoll  13248  ccatass  13371  ccatrn  13372  swrds1  13451  swrdccat1  13457  swrdccat2  13458  splfv1  13506  splval2  13508  revccat  13515  rexuz3  14088  r19.2uz  14091  cau3lem  14094  caubnd2  14097  climconst  14274  climuni  14283  isercoll2  14399  climsup  14400  climcau  14401  serf0  14411  iseralt  14415  fsumcvg3  14460  fsumparts  14538  o1fsum  14545  abscvgcvg  14551  isum1p  14573  isumrpcl  14575  isumsup2  14578  climcndslem1  14581  climcndslem2  14582  climcnds  14583  cvgrat  14615  mertenslem1  14616  ntrivcvgn0  14630  fprodabs  14704  binomfallfaclem2  14771  fprodefsum  14825  eftlub  14839  rpnnen2lem11  14953  bitsfzo  15157  bitsinv1  15164  smupval  15210  seq1st  15284  algr0  15285  eucalg  15300  oddprm  15515  pcfac  15603  pcbc  15604  vdwlem6  15690  prmlem0  15812  gsumprval  17281  gsumccat  17378  efginvrel2  18140  efgsres  18151  telgsumfzs  18386  lmconst  21065  lmmo  21184  zfbas  21700  uzrest  21701  iscau2  23075  iscau4  23077  caun0  23079  caussi  23095  equivcau  23098  lmcau  23111  mbfsup  23431  mbfinf  23432  mbflimsup  23433  plyco0  23948  dvply2g  24040  geolim3  24094  aaliou3lem2  24098  aaliou3lem3  24099  ulm2  24139  ulm0  24145  ulmcaulem  24148  ulmcau  24149  ulmss  24151  ulmcn  24153  ulmdvlem3  24156  ulmdv  24157  abelthlem7  24192  ppinprm  24878  chtnprm  24880  ppiublem1  24927  chtublem  24936  chtub  24937  bposlem6  25014  lgsqr  25076  lgseisenlem4  25103  lgsquadlem1  25105  lgsquad2  25111  pntpbnd1  25275  pntlemf  25294  ostth2lem2  25323  istrkg2ld  25359  axlowdimlem17  25838  clwwlksvbij  26922  numclwlk2lem2f  27236  fzdif2  29551  esumcvg  30148  dya2ub  30332  dya2icoseg  30339  sseqmw  30453  sseqf  30454  ballotlemfp1  30553  signstfvp  30648  iprodefisumlem  31626  poimirlem1  33410  poimirlem2  33411  poimirlem3  33412  poimirlem4  33413  poimirlem6  33415  poimirlem7  33416  poimirlem8  33417  poimirlem9  33418  poimirlem13  33422  poimirlem14  33423  poimirlem15  33424  poimirlem16  33425  poimirlem17  33426  poimirlem18  33427  poimirlem19  33428  poimirlem20  33429  poimirlem21  33430  poimirlem22  33431  poimirlem23  33432  poimirlem24  33433  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  mblfinlem2  33447  sdclem1  33539  fdc  33541  seqpo  33543  incsequz2  33545  geomcau  33555  bfplem2  33622  eq0rabdioph  37340  rexrabdioph  37358  jm3.1lem1  37584  dvgrat  38511  rexanuz3  39275  uzfissfz  39542  allbutfi  39616  uzid2  39630  uzidd  39631  fmul01lt1lem1  39816  climinf  39838  climsuse  39840  limsupvaluz2  39970  supcnvlimsup  39972  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  iblspltprt  40189  stoweidlem7  40224  wallispilem1  40282  wallispilem4  40285  dirkertrigeqlem1  40315  sge0isum  40644  sge0reuzb  40665  carageniuncllem1  40735  caratheodorylem1  40740  smflimlem1  40979  smflimlem2  40980  smflim  40985  smfsuplem1  41017  smfsuplem3  41019  smflimsuplem1  41026  smflimsuplem2  41027  iccpartres  41354  iccelpart  41369  pfxccat1  41410  pfxccatpfx2  41428  fldivexpfllog2  42359  nnlog2ge0lt1  42360  logbpw2m1  42361  fllog2  42362  blennnelnn  42370  blenpw2  42372  blennnt2  42383  nnolog2flm1  42384  dig2nn0ld  42398  dig2nn1st  42399  0dig2pr01  42404  aacllem  42547