Theorem rnxpss 5566

Description: The range of a Cartesian product is a subclass of the second factor. (Contributed by NM, 16-Jan-2006.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
rnxpss	⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Proof of Theorem rnxpss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rn 5125	. 2 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) = dom ◡(𝐴 × 𝐵)
2		cnvxp 5551	. . . 4 ⊢ ◡(𝐴 × 𝐵) = (𝐵 × 𝐴)
3	2	dmeqi 5325	. . 3 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) = dom (𝐵 × 𝐴)
4		dmxpss 5565	. . 3 ⊢ dom (𝐵 × 𝐴) ⊆ 𝐵
5	3, 4	eqsstri 3635	. 2 ⊢ dom ◡(𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵
6	1, 5	eqsstri 3635	1 ⊢ ran (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝐵

Syntax hints:   ⊆ wss 3574   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  dom cdm 5114  ran crn 5115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rab 2921  df-v 3202  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-br 4654  df-opab 4713  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-dm 5124  df-rn 5125

This theorem is referenced by:  ssxpb  5568  ssrnres  5572  funssxp  6061  fconst  6091  dff2  6371  dff3  6372  fliftf  6565  marypha1lem  8339  marypha1  8340  dfac12lem2  8966  brdom4  9352  nqerf  9752  xptrrel  13719  lern  17225  cnconst2  21087  lmss  21102  tsmsxplem1  21956  causs  23096  i1f0  23454  itg10  23455  taylf  24115  perpln2  25606  locfinref  29908  sitg0  30408  noextendseq  31820  heicant  33444  rntrclfvOAI  37254  rtrclex  37924  trclexi  37927  rtrclexi  37928  cnvtrcl0  37933  rntrcl  37935  brtrclfv2  38019  rp-imass  38065  xphe  38075  rfovcnvf1od  38298