heicant - Mathbox for Brendan Leahy

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Theorem heicant 33444

Description: Heine-Cantor theorem: a continuous mapping between metric spaces whose domain is compact is uniformly continuous. Theorem on [Rosenlicht] p. 80. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 27-Sep-2020.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
heicant.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
heicant.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
heicant.j	⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
heicant.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
heicant.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)

**Assertion**
Ref	Expression
heicant	⊢ (𝜑 → ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) = ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)))

Proof of Theorem heicant Dummy variables 𝑏 𝑐 𝑑 𝑓 𝑔 𝑝 𝑠 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑 ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
2	1	imbi2d 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
3	2	2ralbidv 2989	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
4	3	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = 𝑦 → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
5	4	cbvralv 3171	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
6		r19.12 3063	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
7	6	ralimi 2952	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
8	5, 7	sylbi 207	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) → ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
9		rphalfcl 11858	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺)
10		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦 ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
11	10	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
12	11	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
13	12	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
14	13	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑑 / 2) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
15	14	rspcva 3307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
16		heicant.j	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
17	16	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (MetOpen‘𝐶) ∈ Comp)
18		heicant.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
19	18	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
20	19	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
21		rphalfcl 11858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ⁺)
22	21	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*)
23		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (MetOpen‘𝐶) = (MetOpen‘𝐶)
24	23	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
25	24	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ^*) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
26	20, 22, 25	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶))
28	21	rpgt0d 11875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 0 < (𝑧 / 2))
29	22, 28	jca 554	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2)))
30		xblcntr 22216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
31	30	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑧 / 2) ∈ ℝ^* ∧ 0 < (𝑧 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
32	20, 29, 31	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
34		opelxpi 5148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ (𝑧 / 2) ∈ ℝ⁺) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
35	21, 34	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
36	35	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
37		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → 𝑧 ∈ ℂ)
38	37	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) = 𝑧)
39	38	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) ↔ (𝑥𝐶𝑐) < 𝑧))
40	39	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
41	40	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
42		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑥𝐶𝑐) = (𝑥𝐶𝑤))
43	42	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < 𝑧))
44		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (𝑓‘𝑐) = (𝑓‘𝑤))
45	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)))
46	45	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
47	43, 46	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
48	47	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
49	41, 48	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
50	49	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
51	50	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
52		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 𝑥 ∈ V
53		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑧 / 2) ∈ V
54	52, 53	op1std 7178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (1^st ‘𝑝) = 𝑥)
55	52, 53	op2ndd 7179	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (2^nd ‘𝑝) = (𝑧 / 2))
56	54, 55	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)))
57	56	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)))
58	57	biantrurd 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
59	54	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) = (𝑥𝐶𝑐))
60	55, 55	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) = ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)))
61	59, 60	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) ↔ (𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2))))
62	54	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (𝑓‘(1^st ‘𝑝)) = (𝑓‘𝑥))
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)))
64	63	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
65	61, 64	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → ((((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
66	65	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
67	58, 66	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ → (((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
68	67	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⟨𝑥, (𝑧 / 2)⟩ ∈ (𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑐) < ((𝑧 / 2) + (𝑧 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
69	36, 51, 68	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
70		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2))))
71		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ↔ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝))))
72	71	anbi1d 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → ((𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
73	72	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → (∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
74	70, 73	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑏 = (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) → ((𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
75	74	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∈ (MetOpen‘𝐶) ∧ (𝑥 ∈ (𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)((𝑥(ball‘𝐶)(𝑧 / 2)) = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
76	27, 33, 69, 75	syl12anc 1324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
77	76	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑧 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
78	77	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
79	78	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
80	79	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
81	23	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
82	18, 81	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
83	82	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
84	83	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
85	80, 84	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
86		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ (MetOpen‘𝐶)
87		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (1^st ‘𝑝) = (1^st ‘(𝑔‘𝑏)))
88		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (2^nd ‘𝑝) = (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
89	87, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
90	89	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ↔ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
91	87	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐))
92	88, 88	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) = ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
93	91, 92	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
94	87	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (𝑓‘(1^st ‘𝑝)) = (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))))
95	94	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)))
96	95	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
97	93, 96	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
98	97	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → (∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
99	90, 98	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = (𝑔‘𝑏) → ((𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ↔ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))
100	86, 99	cmpcovf 21194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((MetOpen‘𝐶) ∈ Comp ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (MetOpen‘𝐶)∃𝑏 ∈ (MetOpen‘𝐶)(𝑥 ∈ 𝑏 ∧ ∃𝑝 ∈ (𝑋 × ℝ⁺)(𝑏 = ((1^st ‘𝑝)(ball‘𝐶)(2^nd ‘𝑝)) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘𝑝)𝐶𝑐) < ((2^nd ‘𝑝) + (2^nd ‘𝑝)) → ((𝑓‘(1^st ‘𝑝))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
101	17, 85, 100	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))))
102	101	ex 450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))))))
103		elinel2 3800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin) → 𝑠 ∈ Fin)
104		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → 𝜑)
105	104	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → (𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin))
106		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺))
107		rnss 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ran (𝑋 × ℝ⁺))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ran (𝑋 × ℝ⁺))
109		rnxpss 5566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ran (𝑋 × ℝ⁺) ⊆ ℝ⁺
110	108, 109	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺)
111	110	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺)
112		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑠 ∈ Fin)
113		ffun 6048	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → Fun 𝑔)
114		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 𝑔 ∈ V
115	114	fundmen 8030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (Fun 𝑔 → dom 𝑔 ≈ 𝑔)
116	115	ensymd 8007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (Fun 𝑔 → 𝑔 ≈ dom 𝑔)
117	113, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 ≈ dom 𝑔)
118		fdm 6051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → dom 𝑔 = 𝑠)
119	117, 118	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 ≈ 𝑠)
120		enfii 8177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔 ≈ 𝑠) → 𝑔 ∈ Fin)
121	119, 120	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑔 ∈ Fin)
122		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑔 ∈ Fin → ran 𝑔 ∈ Fin)
123		rnfi 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (ran 𝑔 ∈ Fin → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
124	121, 122, 123	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑠 ∈ Fin ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
125	112, 124	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ∈ Fin)
126	118	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → dom 𝑔 = 𝑠)
127		eqtr 2641	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
128	82, 127	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 = ∪ 𝑠)
129		heicant.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
130	129	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑋 ≠ ∅)
131	128, 130	eqnetrrd 2862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ∪ 𝑠 ≠ ∅)
132		unieq 4444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∪ ∅)
133		uni0 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ∪ ∅ = ∅
134	132, 133	syl6eq 2672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑠 = ∅ → ∪ 𝑠 = ∅)
135	134	necon3i 2826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (∪ 𝑠 ≠ ∅ → 𝑠 ≠ ∅)
136	131, 135	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → 𝑠 ≠ ∅)
137	136	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑠 ≠ ∅)
138	126, 137	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → dom 𝑔 ≠ ∅)
139		dm0rn0 5342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (dom 𝑔 = ∅ ↔ ran 𝑔 = ∅)
140	139	necon3bii 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (dom 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran 𝑔 ≠ ∅)
141	138, 140	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran 𝑔 ≠ ∅)
142		relxp 5227	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ Rel (𝑋 × ℝ⁺)
143		relss 5206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (ran 𝑔 ⊆ (𝑋 × ℝ⁺) → (Rel (𝑋 × ℝ⁺) → Rel ran 𝑔))
144	106, 142, 143	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → Rel ran 𝑔)
145		relrn0 5383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (Rel ran 𝑔 → (ran 𝑔 = ∅ ↔ ran ran 𝑔 = ∅))
146	145	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (Rel ran 𝑔 → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
147	144, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
148	147	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (ran 𝑔 ≠ ∅ ↔ ran ran 𝑔 ≠ ∅))
149	141, 148	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝜑 ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
150	149	adantllr 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
151		rpssre 11843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ℝ⁺ ⊆ ℝ
152	111, 151	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
153		ltso 10118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ < Or ℝ
154		fiinfcl 8407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
155	153, 154	mpan 706	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((ran ran 𝑔 ∈ Fin ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ran ran 𝑔 ⊆ ℝ) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
156	125, 150, 152, 155	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ran ran 𝑔)
157	111, 156	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
158	105, 157	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
159	158	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺)
160	82	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → 𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶))
161	160	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠))
162	161	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠))
163		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
164	127	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ 𝑥 ∈ ∪ 𝑠))
165		eluni2 4440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑠 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
166	164, 165	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑋 ↔ ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏))
167	166	biimpa 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑋 = ∪ (MetOpen‘𝐶) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
168	162, 163, 167	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏)
169		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏(((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
170		nfra1 2941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ Ⅎ𝑏∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))
171	169, 170	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
172		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ Ⅎ𝑏(𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)
173	171, 172	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏(((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋))
174		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ Ⅎ𝑏((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)
175		rspa 2930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))
176		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
177	176	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
178		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (𝑓‘𝑐) = (𝑓‘𝑥))
179	178	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
180	179	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)))
181	177, 180	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑥 → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2))))
182	181	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)))
183		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤))
184	183	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
185	44	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
186	185	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2) ↔ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
187	184, 186	imbi12d 334	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑐 = 𝑤 → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)) ↔ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
188	187	rspcva 3307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)))
189	182, 188	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
190	189	anandirs 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
191		prth 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
193	192	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
194	193	ad4ant23 1297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))))
195		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺))
196	195	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)))
197	196	anim1i 592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)))
198	110, 151	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
199	198	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ran ran 𝑔 ⊆ ℝ)
200		0re 10040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ 0 ∈ ℝ
201		rpge0 11845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ⁺ → 0 ≤ 𝑦)
202	201	rgen 2922	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦
203		ssralv 3666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (ran ran 𝑔 ⊆ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ 0 ≤ 𝑦 → ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦))
204	110, 202, 203	mpisyl 21	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦)
205		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 ≤ 𝑦 ↔ 0 ≤ 𝑦))
206	205	ralbidv 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (𝑥 = 0 → (∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦))
207	206	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔0 ≤ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
208	200, 204, 207	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
209	208	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦)
210	144	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → Rel ran 𝑔)
211		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) → 𝑔 Fn 𝑠)
212		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔 Fn 𝑠 ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔)
213	211, 212	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔)
214		2ndrn 7216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((Rel ran 𝑔 ∧ (𝑔‘𝑏) ∈ ran 𝑔) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔)
215	210, 213, 214	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔)
216		infrelb 11008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦 ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
217	199, 209, 215, 216	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
218	217	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
219	218	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
220	18	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
221		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
222	221	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
223	220, 222	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
224	223	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
225		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
226		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ 𝑠)
227		ne0i 3921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ran ran 𝑔 → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
228	215, 227	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ran ran 𝑔 ≠ ∅)
229		infrecl 11005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((ran ran 𝑔 ⊆ ℝ ∧ ran ran 𝑔 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ran 𝑔 𝑥 ≤ 𝑦) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ)
230	199, 228, 209, 229	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ)
231	230	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^*)
232	225, 226, 231	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^*)
233		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
234	233	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
235		xp2nd 7199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
236	234, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
237	236	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
238	237	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
239		xrltletr 11988	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → (((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
240	224, 232, 238, 239	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∧ inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
241	219, 240	mpan2d 710	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
242	241	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
243	18	ad6antr 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
244		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺))
245		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
246		xp1st 7198	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
247	245, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
248	244, 226, 247	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
249		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
250	249	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑤 ∈ 𝑋)
251		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
252	243, 248, 250, 251	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
253	252	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ∈ ℝ^*)
254	245, 235	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
255	225, 254	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
256	255	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ⁺)
257	256	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
258		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ 𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
259	18	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
260	225, 247	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
261	255	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
262		elbl 22193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → (𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
264	258, 263	sylan9bbr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 ↔ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
265	264	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥 ∈ 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
266	265	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑥 ∈ 𝑏 → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
267	266	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
268	267	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
269	163	ad3antlr 767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 𝑥 ∈ 𝑋)
270		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
271	243, 248, 269, 270	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
272	254	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
273	244, 226, 272	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*)
274		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
275	271, 273, 274	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
276	268, 275	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
277	225	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑔‘𝑏) ∈ (𝑋 × ℝ⁺))
278	277, 246	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋)
279		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝑥 ∈ 𝑋)
280	259, 278, 279, 270	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^*)
281		xmetge0 22149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
282	259, 278, 279, 281	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥))
283		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
284	283	an4s 869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥)) ∧ ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
285	284	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥)) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
286	280, 282, 285	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
287	286	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ))
288	257, 276, 287	mp2and 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
289	288	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ)
290		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ^*) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
291	224, 238, 290	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
292		xmetge0 22149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
293	292	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
294	220, 293	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
295	294	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → 0 ≤ (𝑥𝐶𝑤))
296	236	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
297	296	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
298		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ ((((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
299	298	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ^* ∧ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
300	224, 297, 299	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((0 ≤ (𝑥𝐶𝑤) ∧ (𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
301	295, 300	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) ≤ (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
302	291, 301	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
303	302	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ))
304	303	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ)
305	289, 304	readdcld 10069	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ)
306	305	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) ∈ ℝ^*)
307	256, 256	rpaddcld 11887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ⁺)
308	307	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ^*)
309	308	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ ℝ^*)
310		xmettri 22156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
311	243, 248, 250, 269, 310	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
312	311	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)))
313		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥𝐶𝑤) ∈ ℝ) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)) = (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
314	289, 304, 313	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) +_𝑒 (𝑥𝐶𝑤)) = (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
315	312, 314	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) ≤ (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)))
316	257	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
317	268	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
318		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))
319	289, 304, 316, 316, 317, 318	lt2addd 10650	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) + (𝑥𝐶𝑤)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
320	253, 306, 309, 315, 319	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
321	320	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))))
322	254	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) ∈ ℝ)
323	322, 254	ltaddrpd 11905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
324	244, 226, 323	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
325	271, 273, 308, 268, 324	xrlttrd 11990	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))
326	321, 325	jctild 566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))))
327	242, 326	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))))))
328		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → (𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌))
329		heicant.d	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
330		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
331		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
332	330, 331	anim12dan 882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌))
333		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
334	333	3expb 1266	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
335	329, 332, 334	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
336	335	anassrs 680	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
337	328, 336	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
338	337	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
339	329	ad5antr 770	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌))
340		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
341	340, 278	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌)
342		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) → 𝑓:𝑋⟶𝑌)
343	342	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
344	343	adantrr 753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
345	344	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌)
346		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^*)
347	339, 341, 345, 346	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^*)
348	9	rpxrd 11873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*)
349	348	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*)
350		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)))
351	347, 349, 350	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)))
352		xmetge0 22149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
353	339, 341, 345, 352	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
354	9	rpred 11872	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
355	354	ad4antlr 769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑑 / 2) ∈ ℝ)
356		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
357	356	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
358	347, 355, 357	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
359	353, 358	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ≤ (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
360	351, 359	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
361	360	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ))
362	361	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ)
363	342	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
364	363	adantrl 752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
365	364	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌)
366		xmetcl 22136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
367	339, 341, 365, 366	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^*)
368		xrltle 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ^*) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)))
369	367, 349, 368	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)))
370		xmetge0 22149	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
371	339, 341, 365, 370	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → 0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)))
372		xrrege0 12005	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) ∧ (0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ)
373	372	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ^* ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
374	367, 355, 373	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((0 ≤ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
375	371, 374	mpand 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
376	369, 375	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
377	376	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ))
378	377	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ)
379		readdcl 10019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
380	362, 378, 379	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
381	380	anandis 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ)
382	381	rexrd 10089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) ∈ ℝ^*)
383		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℝ^*)
384	383	ad6antlr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → 𝑑 ∈ ℝ^*)
385		xmettri 22156	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ ((𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘𝑤) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
386	339, 345, 365, 341, 385	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
387	386	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
388	387	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
389		xmetsym 22152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (𝑓‘𝑥) ∈ 𝑌 ∧ (𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏))) ∈ 𝑌) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
390	339, 345, 341, 389	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
391	390	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
392	391	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) = ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)))
393	392	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
394		rexadd 12063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
395	362, 378, 394	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2)) ∧ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
396	395	anandis 873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
397	393, 396	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))) +_𝑒 ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) = (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
398	388, 397	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) ≤ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))))
399		lt2add 10513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ⊢ (((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
400	399	expcom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ⊢ (((𝑑 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑑 / 2) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
401	355, 355, 400	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) ∈ ℝ ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) ∈ ℝ) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
402	360, 376, 401	syl2and 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))))
403	402	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
404	403	ad2ant2r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2))))
405	404	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)))
406		rpcn 11841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → 𝑑 ∈ ℂ)
407	406	2halvesd 11278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ⁺ → ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)) = 𝑑)
408	407	ad6antlr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑑 / 2) + (𝑑 / 2)) = 𝑑)
409	405, 408	breqtrd 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) + ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤))) < 𝑑)
410	338, 382, 384, 398, 409	xrlelttrd 11991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) ∧ (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)
411	410	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
412	327, 411	imim12d 81	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
413	197, 412	sylanl1 682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ 𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
414	413	adantlrr 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → (((((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑥) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑤) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏)))) → (((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑥)) < (𝑑 / 2) ∧ ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2))) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
415	194, 414	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑏 ∈ 𝑠 ∧ 𝑥 ∈ 𝑏)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
416	415	exp32 631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
417	175, 416	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ (∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑠)) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
418	417	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))))
419	418	pm2.43d 53	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
420	419	an32s 846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (𝑏 ∈ 𝑠 → (𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
421	173, 174, 420	rexlimd 3026	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → (∃𝑏 ∈ 𝑠 𝑥 ∈ 𝑏 → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
422	168, 421	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
423	422	ralrimivva 2971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
424		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 ↔ (𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < )))
425	424	imbi1d 331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
426	425	2ralbidv 2989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 = inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
427	426	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < inf(ran ran 𝑔, ℝ, < ) → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
428	159, 423, 427	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) ∧ 𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺)) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))
429	428	expl 648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → ((𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
430	429	exlimdv 1861	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) ∧ ∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠) → (∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
431	430	expimpd 629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ Fin) → ((∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
432	103, 431	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) ∧ 𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)) → ((∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
433	432	rexlimdva 3031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∃𝑠 ∈ (𝒫 (MetOpen‘𝐶) ∩ Fin)(∪ (MetOpen‘𝐶) = ∪ 𝑠 ∧ ∃𝑔(𝑔:𝑠⟶(𝑋 × ℝ⁺) ∧ ∀𝑏 ∈ 𝑠 (𝑏 = ((1^st ‘(𝑔‘𝑏))(ball‘𝐶)(2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) ∧ ∀𝑐 ∈ 𝑋 (((1^st ‘(𝑔‘𝑏))𝐶𝑐) < ((2^nd ‘(𝑔‘𝑏)) + (2^nd ‘(𝑔‘𝑏))) → ((𝑓‘(1^st ‘(𝑔‘𝑏)))𝐷(𝑓‘𝑐)) < (𝑑 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
434	102, 433	syld 47	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < (𝑑 / 2)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
435	15, 434	syl5 34	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) ∧ 𝑑 ∈ ℝ⁺) → (((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
436	435	exp4b 632	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (𝑑 ∈ ℝ⁺ → ((𝑑 / 2) ∈ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))))
437	9, 436	mpdi 45	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (𝑑 ∈ ℝ⁺ → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
438	437	ralrimiv 2965	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
439		r19.21v 2960	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) ↔ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
440	438, 439	sylib 208	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) → ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)))
441	8, 440	impbid2 216	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
442		ralcom 3098	. . . . 5 ⊢ (∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))
443	441, 442	syl6bb 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓:𝑋⟶𝑌) → (∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦)))
444	443	pm5.32da 673	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
445		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (metUnif‘𝐶) = (metUnif‘𝐶)
446		eqid 2622	. . . 4 ⊢ (metUnif‘𝐷) = (metUnif‘𝐷)
447		heicant.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ ∅)
448		xmetpsmet 22153	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐶 ∈ (PsMet‘𝑋))
449	18, 448	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (PsMet‘𝑋))
450		xmetpsmet 22153	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌) → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑌))
451	329, 450	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (PsMet‘𝑌))
452	445, 446, 129, 447, 449, 451	metucn 22376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑑 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑑))))
453		eqid 2622	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘𝐷) = (MetOpen‘𝐷)
454	23, 453	metcn 22348	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑌)) → (𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
455	18, 329, 454	syl2anc 693	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)) ↔ (𝑓:𝑋⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑦 ∈ ℝ⁺ ∃𝑧 ∈ ℝ⁺ ∀𝑤 ∈ 𝑋 ((𝑥𝐶𝑤) < 𝑧 → ((𝑓‘𝑥)𝐷(𝑓‘𝑤)) < 𝑦))))
456	444, 452, 455	3bitr4d 300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑓 ∈ ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) ↔ 𝑓 ∈ ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷))))
457	456	eqrdv 2620	1 ⊢ (𝜑 → ((metUnif‘𝐶) Cn_u(metUnif‘𝐷)) = ((MetOpen‘𝐶) Cn (MetOpen‘𝐷)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 196 ∧ wa 384 ∧ w3a 1037 = wceq 1483 ∃wex 1704 ∈ wcel 1990 ≠ wne 2794 ∀wral 2912 ∃wrex 2913 ∩ cin 3573 ⊆ wss 3574 ∅c0 3915 𝒫 cpw 4158 ⟨cop 4183 ∪ cuni 4436 class class class wbr 4653 Or wor 5034 × cxp 5112 dom cdm 5114 ran crn 5115 Rel wrel 5119 Fun wfun 5882 Fn wfn 5883 ⟶wf 5884 ‘cfv 5888 (class class class)co 6650 1^st c1st 7166 2^nd c2nd 7167 ≈ cen 7952 Fincfn 7955 infcinf 8347 ℝcr 9935 0cc0 9936 + caddc 9939 ℝ^*cxr 10073 < clt 10074 ≤ cle 10075 / cdiv 10684 2c2 11070 ℝ⁺crp 11832 +_𝑒 cxad 11944 PsMetcpsmet 19730 ∞Metcxmt 19731 ballcbl 19733 MetOpencmopn 19736 metUnifcmetu 19737 Cn ccn 21028 Compccmp 21189 Cn_ucucn 22079

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1722 ax-4 1737 ax-5 1839 ax-6 1888 ax-7 1935 ax-8 1992 ax-9 1999 ax-10 2019 ax-11 2034 ax-12 2047 ax-13 2246 ax-ext 2602 ax-sep 4781 ax-nul 4789 ax-pow 4843 ax-pr 4906 ax-un 6949 ax-cnex 9992 ax-resscn 9993 ax-1cn 9994 ax-icn 9995 ax-addcl 9996 ax-addrcl 9997 ax-mulcl 9998 ax-mulrcl 9999 ax-mulcom 10000 ax-addass 10001 ax-mulass 10002 ax-distr 10003 ax-i2m1 10004 ax-1ne0 10005 ax-1rid 10006 ax-rnegex 10007 ax-rrecex 10008 ax-cnre 10009 ax-pre-lttri 10010 ax-pre-lttrn 10011 ax-pre-ltadd 10012 ax-pre-mulgt0 10013 ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions: df-bi 197 df-or 385 df-an 386 df-3or 1038 df-3an 1039 df-tru 1486 df-ex 1705 df-nf 1710 df-sb 1881 df-eu 2474 df-mo 2475 df-clab 2609 df-cleq 2615 df-clel 2618 df-nfc 2753 df-ne 2795 df-nel 2898 df-ral 2917 df-rex 2918 df-reu 2919 df-rmo 2920 df-rab 2921 df-v 3202 df-sbc 3436 df-csb 3534 df-dif 3577 df-un 3579 df-in 3581 df-ss 3588 df-pss 3590 df-nul 3916 df-if 4087 df-pw 4160 df-sn 4178 df-pr 4180 df-tp 4182 df-op 4184 df-uni 4437 df-int 4476 df-iun 4522 df-br 4654 df-opab 4713 df-mpt 4730 df-tr 4753 df-id 5024 df-eprel 5029 df-po 5035 df-so 5036 df-fr 5073 df-we 5075 df-xp 5120 df-rel 5121 df-cnv 5122 df-co 5123 df-dm 5124 df-rn 5125 df-res 5126 df-ima 5127 df-pred 5680 df-ord 5726 df-on 5727 df-lim 5728 df-suc 5729 df-iota 5851 df-fun 5890 df-fn 5891 df-f 5892 df-f1 5893 df-fo 5894 df-f1o 5895 df-fv 5896 df-riota 6611 df-ov 6653 df-oprab 6654 df-mpt2 6655 df-om 7066 df-1st 7168 df-2nd 7169 df-wrecs 7407 df-recs 7468 df-rdg 7506 df-1o 7560 df-er 7742 df-map 7859 df-en 7956 df-dom 7957 df-sdom 7958 df-fin 7959 df-sup 8348 df-inf 8349 df-pnf 10076 df-mnf 10077 df-xr 10078 df-ltxr 10079 df-le 10080 df-sub 10268 df-neg 10269 df-div 10685 df-nn 11021 df-2 11079 df-n0 11293 df-z 11378 df-uz 11688 df-q 11789 df-rp 11833 df-xneg 11946 df-xadd 11947 df-xmul 11948 df-ico 12181 df-topgen 16104 df-psmet 19738 df-xmet 19739 df-bl 19741 df-mopn 19742 df-fbas 19743 df-fg 19744 df-metu 19745 df-top 20699 df-topon 20716 df-bases 20750 df-cn 21031 df-cnp 21032 df-cmp 21190 df-fil 21650 df-ust 22004 df-ucn 22080

This theorem is referenced by: (None)

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