Theorem sdom1 8160

Description: A set has less than one member iff it is empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sdom1	⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ 𝐴 = ∅)

Proof of Theorem sdom1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnsym 8086	. . . . 5 ⊢ (1𝑜 ≼ 𝐴 → ¬ 𝐴 ≺ 1𝑜)
2	1	con2i 134	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ 1𝑜 ≼ 𝐴)
3		0sdom1dom 8158	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 𝐴 ↔ 1𝑜 ≼ 𝐴)
4	2, 3	sylnibr 319	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 → ¬ ∅ ≺ 𝐴)
5		relsdom 7962	. . . . 5 ⊢ Rel ≺
6	5	brrelexi 5158	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 → 𝐴 ∈ V)
7		0sdomg 8089	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → (∅ ≺ 𝐴 ↔ 𝐴 ≠ ∅))
8	7	necon2bbid 2837	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
9	6, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 → (𝐴 = ∅ ↔ ¬ ∅ ≺ 𝐴))
10	4, 9	mpbird 247	. 2 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 → 𝐴 = ∅)
11		1n0 7575	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
12		1on 7567	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ∈ On
13	12	elexi 3213	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ V
14	13	0sdom 8091	. . . 4 ⊢ (∅ ≺ 1𝑜 ↔ 1𝑜 ≠ ∅)
15	11, 14	mpbir 221	. . 3 ⊢ ∅ ≺ 1𝑜
16		breq1 4656	. . 3 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ ∅ ≺ 1𝑜))
17	15, 16	mpbiri 248	. 2 ⊢ (𝐴 = ∅ → 𝐴 ≺ 1𝑜)
18	10, 17	impbii 199	1 ⊢ (𝐴 ≺ 1𝑜 ↔ 𝐴 = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915   class class class wbr 4653  Oncon0 5723  1_𝑜c1o 7553   ≼ cdom 7953   ≺ csdm 7954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958

This theorem is referenced by:  modom  8161  frgpcyg  19922