Theorem setind 8610

Description: Set (epsilon) induction. Theorem 5.22 of [TakeutiZaring] p. 21. (Contributed by NM, 17-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
setind	⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem setind

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssindif0 4031	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ⊆ 𝐴 ↔ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
2		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ⊆ 𝐴 ↔ 𝑦 ⊆ 𝐴))
3		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
4	2, 3	imbi12d 334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴)))
5	4	spv 2260	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ⊆ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
6	1, 5	syl5bir 233	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → 𝑦 ∈ 𝐴))
7		eldifn 3733	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ 𝑦 ∈ 𝐴)
8	6, 7	nsyli 155	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅))
9	8	imp 445	. . . 4 ⊢ ((∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)) → ¬ (𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
10	9	nrexdv 3001	. . 3 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → ¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
11		zfregs 8608	. . . 4 ⊢ ((V ∖ 𝐴) ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅)
12	11	necon1bi 2822	. . 3 ⊢ (¬ ∃𝑦 ∈ (V ∖ 𝐴)(𝑦 ∩ (V ∖ 𝐴)) = ∅ → (V ∖ 𝐴) = ∅)
13	10, 12	syl 17	. 2 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → (V ∖ 𝐴) = ∅)
14		vdif0 4037	. 2 ⊢ (𝐴 = V ↔ (V ∖ 𝐴) = ∅)
15	13, 14	sylibr 224	1 ⊢ (∀𝑥(𝑥 ⊆ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 = V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4  ∀wal 1481   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913  Vcvv 3200   ∖ cdif 3571   ∩ cin 3573   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-reg 8497  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506

This theorem is referenced by:  setind2  8611  tz9.13  8654  unir1  8676  setinds  31683  vsetrec  42446