Theorem sslttr 31914

Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
2		ssltex1 31901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ∈ V)
3		ssltex2 31902	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ∈ V)
4	2, 3	anim12i 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V))
6		ssltss1 31903	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → 𝐴 ⊆ No )
7	6	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
8		ssltss2 31904	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐶 ⊆ No )
9	8	ad2antll 765	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
10	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ⊆ No )
11		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ 𝐴)
12	10, 11	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 ∈ No )
13		ssltss1 31903	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → 𝐵 ⊆ No )
14	13	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ⊆ No )
16		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
17	15, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 ∈ No )
18	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ⊆ No )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ 𝐶)
20	18, 19	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑧 ∈ No )
21		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐴 <<s 𝐵 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
24		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦))
25	23, 11, 24	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦)
26		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 <s 𝑦 → (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑥 <s 𝑦))
27	25, 16, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑦)
28		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐵 <<s 𝐶 → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
29	28	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
31		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧))
32	30, 16, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧)
33		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑦 <s 𝑧 → (𝑧 ∈ 𝐶 → 𝑦 <s 𝑧))
34	32, 19, 33	sylc 65	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑦 <s 𝑧)
35	12, 17, 20, 27, 34	slttrd 31884	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) ∧ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐶)) → 𝑥 <s 𝑧)
36	35	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)
37	7, 9, 36	3jca 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧))
38		brsslt 31900	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 <<s 𝐶 ↔ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ V) ∧ (𝐴 ⊆ No ∧ 𝐶 ⊆ No ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑧 ∈ 𝐶 𝑥 <s 𝑧)))
39	5, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶)) → 𝐴 <<s 𝐶)
40	39	ex 450	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
41	40	exlimiv 1858	. . . 4 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
42	1, 41	sylbi 207	. . 3 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → 𝐴 <<s 𝐶))
43	42	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶) → (𝐵 ≠ ∅ → 𝐴 <<s 𝐶))
44	43	3impia 1261	1 ⊢ ((𝐴 <<s 𝐵 ∧ 𝐵 <<s 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 <<s 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1037  ∃wex 1704   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  ∀wral 2912  Vcvv 3200   ⊆ wss 3574  ∅c0 3915   class class class wbr 4653   No csur 31793   <s cslt 31794   <<s csslt 31896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-sslt 31897

This theorem is referenced by:  scutun12  31917  scutbdaylt  31922