Theorem sslttr 31914

Description: Transitive law for surreal set less than. (Contributed by Scott Fenton, 9-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sslttr	|- ( ( A < <s B /\ B < <s C /\ B =/= (/) ) -> A < <s C )

Proof of Theorem sslttr

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		n0 3931	. . . 4 |- ( B =/= (/) <-> E. y y e. B )
2		ssltex1 31901	. . . . . . . . 9 |- ( A < <s B -> A e. _V )
3		ssltex2 31902	. . . . . . . . 9 |- ( B < <s C -> C e. _V )
4	2, 3	anim12i 590	. . . . . . . 8 |- ( ( A < <s B /\ B < <s C ) -> ( A e. _V /\ C e. _V ) )
5	4	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> ( A e. _V /\ C e. _V ) )
6		ssltss1 31903	. . . . . . . . 9 |- ( A < <s B -> A C_ No )
7	6	ad2antrl 764	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> A C_ No )
8		ssltss2 31904	. . . . . . . . 9 |- ( B < <s C -> C C_ No )
9	8	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> C C_ No )
10	7	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> A C_ No )
11		simprl 794	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> x e. A )
12	10, 11	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> x e. No )
13		ssltss1 31903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B < <s C -> B C_ No )
14	13	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> B C_ No )
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> B C_ No )
16		simpll 790	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> y e. B )
17	15, 16	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> y e. No )
18	9	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> C C_ No )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> z e. C )
20	18, 19	sseldd 3604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> z e. No )
21		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A < <s B -> A. x e. A A. y e. B x <s y )
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> A. x e. A A. y e. B x <s y )
23	22	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> A. x e. A A. y e. B x <s y )
24		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. x e. A A. y e. B x <s y -> ( x e. A -> A. y e. B x <s y ) )
25	23, 11, 24	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> A. y e. B x <s y )
26		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. y e. B x <s y -> ( y e. B -> x <s y ) )
27	25, 16, 26	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> x <s y )
28		ssltsep 31905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B < <s C -> A. y e. B A. z e. C y <s z )
29	28	ad2antll 765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> A. y e. B A. z e. C y <s z )
30	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> A. y e. B A. z e. C y <s z )
31		rsp 2929	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. y e. B A. z e. C y <s z -> ( y e. B -> A. z e. C y <s z ) )
32	30, 16, 31	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> A. z e. C y <s z )
33		rsp 2929	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. C y <s z -> ( z e. C -> y <s z ) )
34	32, 19, 33	sylc 65	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> y <s z )
35	12, 17, 20, 27, 34	slttrd 31884	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) /\ ( x e. A /\ z e. C ) ) -> x <s z )
36	35	ralrimivva 2971	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> A. x e. A A. z e. C x <s z )
37	7, 9, 36	3jca 1242	. . . . . . 7 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> ( A C_ No /\ C C_ No /\ A. x e. A A. z e. C x <s z ) )
38		brsslt 31900	. . . . . . 7 |- ( A < <s C <-> ( ( A e. _V /\ C e. _V ) /\ ( A C_ No /\ C C_ No /\ A. x e. A A. z e. C x <s z ) ) )
39	5, 37, 38	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( y e. B /\ ( A < <s B /\ B < <s C ) ) -> A < <s C )
40	39	ex 450	. . . . 5 |- ( y e. B -> ( ( A < <s B /\ B < <s C ) -> A < <s C ) )
41	40	exlimiv 1858	. . . 4 |- ( E. y y e. B -> ( ( A < <s B /\ B < <s C ) -> A < <s C ) )
42	1, 41	sylbi 207	. . 3 |- ( B =/= (/) -> ( ( A < <s B /\ B < <s C ) -> A < <s C ) )
43	42	com12 32	. 2 |- ( ( A < <s B /\ B < <s C ) -> ( B =/= (/) -> A < <s C ) )
44	43	3impia 1261	1 |- ( ( A < <s B /\ B < <s C /\ B =/= (/) ) -> A < <s C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   class class class wbr 4653   Nocsur 31793   <scslt 31794   < <scsslt 31896

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-1o 7560  df-2o 7561  df-no 31796  df-slt 31797  df-sslt 31897

This theorem is referenced by:  scutun12  31917  scutbdaylt  31922