Theorem ssnnfi 8179

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3706	. . 3 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐴 ↔ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴))
2		pssnn 8178	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥)
3		elnn 7075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ ω) → 𝑥 ∈ ω)
4	3	expcom 451	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ω))
5	4	anim1d 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ω → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐵 ≈ 𝑥) → (𝑥 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝑥)))
6	5	reximdv2 3014	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ω → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
7	6	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≈ 𝑥 → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥))
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊊ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
9		eleq1 2689	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ∈ ω ↔ 𝐴 ∈ ω))
10	9	biimparc 504	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
11		enrefg 7987	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ≈ 𝐵)
12	11	ancli 574	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → (𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝐵))
13		breq2 4657	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝐵 ≈ 𝑥 ↔ 𝐵 ≈ 𝐵))
14	13	rspcev 3309	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ω ∧ 𝐵 ≈ 𝐵) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
15	10, 12, 14	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 = 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
16	8, 15	jaodan 826	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ (𝐵 ⊊ 𝐴 ∨ 𝐵 = 𝐴)) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
17	1, 16	sylan2b 492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
18		isfi 7979	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ Fin ↔ ∃𝑥 ∈ ω 𝐵 ≈ 𝑥)
19	17, 18	sylibr 224	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 383   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ∃wrex 2913   ⊆ wss 3574   ⊊ wpss 3575   class class class wbr 4653  ωcom 7065   ≈ cen 7952  Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  ssfi  8180  0fin  8188  en1eqsn  8190  isfinite2  8218  pwfi  8261  wofib  8450  infpwfien  8885  fin67  9217  hashcard  13146  rexpen  14957