Theorem ssnnfi 8179

Description: A subset of a natural number is finite. (Contributed by NM, 24-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
ssnnfi	|- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Proof of Theorem ssnnfi

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sspss 3706	. . 3 |- ( B C_ A <-> ( B C. A \/ B = A ) )
2		pssnn 8178	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. A B ~~ x )
3		elnn 7075	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ A e. om ) -> x e. om )
4	3	expcom 451	. . . . . . . 8 |- ( A e. om -> ( x e. A -> x e. om ) )
5	4	anim1d 588	. . . . . . 7 |- ( A e. om -> ( ( x e. A /\ B ~~ x ) -> ( x e. om /\ B ~~ x ) ) )
6	5	reximdv2 3014	. . . . . 6 |- ( A e. om -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
7	6	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> ( E. x e. A B ~~ x -> E. x e. om B ~~ x ) )
8	2, 7	mpd 15	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B C. A ) -> E. x e. om B ~~ x )
9		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( B = A -> ( B e. om <-> A e. om ) )
10	9	biimparc 504	. . . . 5 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> B e. om )
11		enrefg 7987	. . . . . 6 |- ( B e. om -> B ~~ B )
12	11	ancli 574	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( B e. om /\ B ~~ B ) )
13		breq2 4657	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( B ~~ x <-> B ~~ B ) )
14	13	rspcev 3309	. . . . 5 |- ( ( B e. om /\ B ~~ B ) -> E. x e. om B ~~ x )
15	10, 12, 14	3syl 18	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B = A ) -> E. x e. om B ~~ x )
16	8, 15	jaodan 826	. . 3 |- ( ( A e. om /\ ( B C. A \/ B = A ) ) -> E. x e. om B ~~ x )
17	1, 16	sylan2b 492	. 2 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> E. x e. om B ~~ x )
18		isfi 7979	. 2 |- ( B e. Fin <-> E. x e. om B ~~ x )
19	17, 18	sylibr 224	1 |- ( ( A e. om /\ B C_ A ) -> B e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   C_ wss 3574   C. wpss 3575   class class class wbr 4653   omcom 7065   ~~ cen 7952   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  ssfi  8180  0fin  8188  en1eqsn  8190  isfinite2  8218  pwfi  8261  wofib  8450  infpwfien  8885  fin67  9217  hashcard  13146  rexpen  14957