Theorem tmdtopon 21885

Description: The topology of a topological monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgptopon.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdtopon	⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Proof of Theorem tmdtopon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tmdtps 21880	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ TopSp)
2		tgptopon.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		tgpcn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
4	2, 3	istps 20738	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ TopSp ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
5	1, 4	sylib 208	1 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  ‘cfv 5888  Basecbs 15857  TopOpenctopn 16082  TopOnctopon 20715  TopSpctps 20736  TopMndctmd 21874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-tmd 21876

This theorem is referenced by:  cnmpt1plusg  21891  cnmpt2plusg  21892  tmdcn2  21893  tmdmulg  21896  tmdgsum  21899  tmdgsum2  21900  oppgtmd  21901  tmdlactcn  21906  submtmd  21908  ghmcnp  21918  prdstgpd  21928  tsmsxp  21958  mhmhmeotmd  29973