Theorem tmdmulg 21896

Description: In a topological monoid, the n-times group multiple function is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tgpmulg.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
tgpmulg.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
tgpmulg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tmdmulg	⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥, ·   𝑥,𝑁

Proof of Theorem tmdmulg

Dummy variables 𝑘 𝑛 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6657	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑛 · 𝑥) = (0 · 𝑥))
2		tgpmulg.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		eqid 2622	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4		tgpmulg.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5	2, 3, 4	mulg0 17546	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → (0 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
6	1, 5	sylan9eq 2676	. . . . . 6 ⊢ ((𝑛 = 0 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑛 · 𝑥) = (0g‘𝐺))
7	6	mpteq2dva 4744	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 0 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)))
8	7	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
9	8	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑛 = 0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
10		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑥))
11	10	mpteq2dv 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)))
12	11	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
13	12	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
14		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑛 · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑥))
15	14	mpteq2dv 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)))
16	15	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
17	16	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑛 = (𝑘 + 1) → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
18		oveq1 6657	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑛 · 𝑥) = (𝑁 · 𝑥))
19	18	mpteq2dv 4745	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)))
20	19	eleq1d 2686	. . . 4 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
21	20	imbi2d 330	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑛 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ↔ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
22		tgpmulg.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘𝐺)
23	22, 2	tmdtopon 21885	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
24		tmdmnd 21879	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → 𝐺 ∈ Mnd)
25	2, 3	mndidcl 17308	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
26	24, 25	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (0g‘𝐺) ∈ 𝐵)
27	23, 23, 26	cnmptc 21465	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (0g‘𝐺)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
28		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑘 + 1) · 𝑥) = ((𝑘 + 1) · 𝑦))
29	28	cbvmptv 4750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦))
30		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
31	2, 4, 30	mulgnn0p1 17552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
32	24, 31	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
33	32	3expa 1265	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
34	33	adantlr 751	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((𝑘 + 1) · 𝑦) = ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦))
35	34	mpteq2dva 4744	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑦)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
36	29, 35	syl5eq 2668	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)))
37		simpll 790	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐺 ∈ TopMnd)
38	37, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐵))
39		oveq2 6658	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑘 · 𝑥) = (𝑘 · 𝑦))
40	39	cbvmptv 4750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) = (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦))
41		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
42	40, 41	syl5eqelr 2706	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
43	38	cnmptid 21464	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝑦) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
44	22, 30, 37, 38, 42, 43	cnmpt1plusg 21891	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 · 𝑦)(+g‘𝐺)𝑦)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
45	36, 44	eqeltrd 2701	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))
46	45	ex 450	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
47	46	expcom 451	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → ((𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
48	47	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑘 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)) → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ ((𝑘 + 1) · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))))
49	9, 13, 17, 21, 27, 48	nn0ind 11472	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐺 ∈ TopMnd → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽)))
50	49	impcom 446	1 ⊢ ((𝐺 ∈ TopMnd ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ 𝐵 ↦ (𝑁 · 𝑥)) ∈ (𝐽 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ↦ cmpt 4729  ‘cfv 5888  (class class class)co 6650  0cc0 9936  1c1 9937   + caddc 9939  ℕ₀cn0 11292  Basecbs 15857  +_gcplusg 15941  TopOpenctopn 16082  0_gc0g 16100  Mndcmnd 17294  ._gcmg 17540  TopOnctopon 20715   Cn ccn 21028  TopMndctmd 21874

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-plusf 17241  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mulg 17541  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-cn 21031  df-cnp 21032  df-tx 21365  df-tmd 21876

This theorem is referenced by:  tgpmulg  21897