Theorem uz11 11710

Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uz11	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 11702	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eleq2 2690	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
3		eluzel2 11692	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl6bi 243	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
5	1, 4	mpan9 486	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 11702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eleq2 2690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
8	6, 7	syl5ibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9		eluzle 11700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10	8, 9	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	1, 2	syl5ib 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
12		eluzle 11700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13	11, 12	syl6 35	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑀))
14	10, 13	anim12d 586	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
15	14	impl 650	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	15	ancoms 469	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
17	16	anassrs 680	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
18		zre 11381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		zre 11381	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letri3 10123	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21	18, 19, 20	syl2an 494	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	21	adantlr 751	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	17, 22	mpbird 247	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
24	5, 23	mpdan 702	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
25	24	ex 450	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26		fveq2 6191	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁))
27	25, 26	impbid1 215	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888  ℝcr 9935   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  fzopth  12378  ulm2  24139  fzoopth  41337