Theorem eluzle 11700

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.)

Assertion

Ref	Expression
eluzle	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Proof of Theorem eluzle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2 11693	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
2	1	simp3bi 1078	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1990   class class class wbr 4653  ‘cfv 5888   ≤ cle 10075  ℤcz 11377  ℤ_≥cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-fv 5896  df-ov 6653  df-neg 10269  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  uztrn  11704  uzneg  11706  uzss  11708  uz11  11710  eluzp1l  11712  uzm1  11718  uzin  11720  uzind4  11746  uzwo  11751  uzsupss  11780  zgt1rpn0n1  11871  elfz5  12334  elfzle1  12344  elfzle2  12345  elfzle3  12347  elfz1uz  12410  uzsplit  12412  uzdisj  12413  uznfz  12423  elfz2nn0  12431  uzsubfz0  12447  nn0disj  12455  fzouzdisj  12504  fldiv4lem1div2uz2  12637  m1modge3gt1  12717  expmulnbnd  12996  seqcoll  13248  swrdlen2  13445  swrdfv2  13446  rexuzre  14092  rlimclim1  14276  isercoll  14398  iseralt  14415  o1fsum  14545  mertenslem1  14616  fprodeq0  14705  efcllem  14808  rpnnen2lem9  14951  smuval2  15204  smupvallem  15205  isprm7  15420  hashdvds  15480  pcmpt2  15597  pcfaclem  15602  pcfac  15603  vdwlem6  15690  ramtlecl  15704  prmlem1  15814  prmlem2  15827  znfld  19909  lmnn  23061  mbflimsup  23433  mbfi1fseqlem6  23487  dvfsumge  23785  plyco0  23948  coeeulem  23980  radcnvlem2  24168  log2tlbnd  24672  lgamgulmlem4  24758  lgamcvg2  24781  chtub  24937  chpval2  24943  chpchtsum  24944  bcmax  25003  bpos1lem  25007  bpos1  25008  bposlem3  25011  bposlem4  25012  bposlem5  25013  bposlem6  25014  lgslem1  25022  lgsdirprm  25056  lgseisen  25104  m1lgs  25113  dchrisumlema  25177  dchrisumlem2  25179  dchrisum0lem1  25205  axlowdimlem3  25824  axlowdimlem6  25827  axlowdimlem7  25828  axlowdimlem16  25837  axlowdimlem17  25838  minvecolem3  27732  minvecolem4  27736  breprexplemc  30710  subfacval3  31171  climuzcnv  31565  knoppndvlem6  32508  poimirlem29  33438  fdc  33541  jm2.24nn  37526  jm2.23  37563  expdiophlem1  37588  hashnzfz2  38520  bccbc  38544  binomcxplemnn0  38548  ssinc  39264  ssdec  39265  fzdifsuc2  39525  uzfissfz  39542  iuneqfzuzlem  39550  ssuzfz  39565  uzublem  39657  uzinico  39787  fmul01lt1lem1  39816  climsuselem1  39839  climsuse  39840  limsupubuzlem  39944  limsupequzlem  39954  limsupmnfuzlem  39958  limsupre3uzlem  39967  ioodvbdlimc1lem2  40147  ioodvbdlimc2lem  40149  iblspltprt  40189  itgspltprt  40195  stoweidlem11  40228  stirlinglem11  40301  fourierdlem79  40402  fourierdlem103  40426  fourierdlem104  40427  vonioolem1  40894  fmtnoprmfac1  41477  fmtnoprmfac2lem1  41478  lighneallem2  41523  lighneallem4a  41525  gboge9  41652  bgoldbnnsum3prm  41692  nnolog2flm1  42384