Theorem xpscg 16218

Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Proof of Theorem xpscg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsng 6406	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
3	1, 2	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4		1on 7567	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
5		xpsng 6406	. . . 4 ⊢ ((1𝑜 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
6	4, 5	mpan 706	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
7		uneq12 3762	. . 3 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩} ∧ ({1𝑜} × {𝐵}) = {⟨1𝑜, 𝐵⟩}) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
8	3, 6, 7	syl2an 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵})) = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩}))
9		xpsc 16217	. 2 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10		df-pr 4180	. 2 ⊢ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} = ({⟨∅, 𝐴⟩} ∪ {⟨1𝑜, 𝐵⟩})
11	8, 9, 10	3eqtr4g 2681	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1483   ∈ wcel 1990  Vcvv 3200   ∪ cun 3572  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  Oncon0 5723  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpscfn  16219  xpstopnlem1  21612