Theorem xpscfn 16219

Description: The pair function is a function on 2_𝑜 = {∅, 1_𝑜}. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpscfn	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)

Proof of Theorem xpscfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4790	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ V
2		1on 7567	. . . 4 ⊢ 1𝑜 ∈ On
3		1n0 7575	. . . . . 6 ⊢ 1𝑜 ≠ ∅
4	3	necomi 2848	. . . . 5 ⊢ ∅ ≠ 1𝑜
5		fnprg 5947	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ ∅ ≠ 1𝑜) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
6	4, 5	mp3an3 1413	. . . 4 ⊢ (((∅ ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊)) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
7	1, 2, 6	mpanl12 718	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
8		df2o3 7573	. . . 4 ⊢ 2𝑜 = {∅, 1𝑜}
9	8	fneq2i 5986	. . 3 ⊢ ({⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn {∅, 1𝑜})
10	7, 9	sylibr 224	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜)
11		xpscg 16218	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩})
12	11	fneq1d 5981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜 ↔ {⟨∅, 𝐴⟩, ⟨1𝑜, 𝐵⟩} Fn 2𝑜))
13	10, 12	mpbird 247	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) Fn 2𝑜)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794  Vcvv 3200  ∅c0 3915  {csn 4177  {cpr 4179  ⟨cop 4183  ^◡ccnv 5113  Oncon0 5723   Fn wfn 5883  (class class class)co 6650  1_𝑜c1o 7553  2_𝑜c2o 7554   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-ord 5726  df-on 5727  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1o 7560  df-2o 7561  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpsfeq  16224  xpsfrnel2  16225  xpslem  16233  xpsaddlem  16235  xpsvsca  16239  xpsle  16241  xpstopnlem1  21612  xpstopnlem2  21614  xpsxmetlem  22184  xpsdsval  22186  xpsmet  22187