Theorem xpsfrn 16229

Description: A short expression for the indexed cartesian product on two indexes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xpsff1o.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))

Assertion

Ref	Expression
xpsfrn	⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑘,𝑦,𝐴   𝐵,𝑘,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑘)

Proof of Theorem xpsfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsff1o.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ ◡({𝑥} +𝑐 {𝑦}))
2	1	xpsff1o 16228	. 2 ⊢ 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)
3		f1ofo 6144	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–1-1-onto→X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → 𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
4		forn 6118	. 2 ⊢ (𝐹:(𝐴 × 𝐵)–onto→X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵) → ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵))
5	2, 3, 4	mp2b 10	1 ⊢ ran 𝐹 = X𝑘 ∈ 2𝑜 if(𝑘 = ∅, 𝐴, 𝐵)

Syntax hints:   = wceq 1483  ∅c0 3915  ifcif 4086  {csn 4177   × cxp 5112  ^◡ccnv 5113  ran crn 5115  –onto→wfo 5886  –1-1-onto→wf1o 5887  (class class class)co 6650   ↦ cmpt2 6652  2_𝑜c2o 7554  Xcixp 7908   +_𝑐 ccda 8989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-cda 8990

This theorem is referenced by:  xpsfrn2  16230  xpslem  16233