Theorem xrge0neqmnf 12276

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11959	. . . . 5 ⊢ -∞ < 0
2		mnfxr 10096	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
3		0xr 10086	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ*
4		xrltnle 10105	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞))
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 ⊢ (-∞ < 0 ↔ ¬ 0 ≤ -∞)
6	1, 5	mpbi 220	. . . 4 ⊢ ¬ 0 ≤ -∞
7		simp2 1062	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → 0 ≤ -∞)
8	7	con3i 150	. . . 4 ⊢ (¬ 0 ≤ -∞ → ¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
9		pnfxr 10092	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		elicc1 12219	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞)))
11	3, 9, 10	mp2an 708	. . . . . 6 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) ↔ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
12	11	biimpi 206	. . . . 5 ⊢ (-∞ ∈ (0[,]+∞) → (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞))
13	12	con3i 150	. . . 4 ⊢ (¬ (-∞ ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -∞ ∧ -∞ ≤ +∞) → ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞))
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)
15		nelneq 2725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (0[,]+∞) ∧ ¬ -∞ ∈ (0[,]+∞)) → ¬ 𝐴 = -∞)
16	14, 15	mpan2 707	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → ¬ 𝐴 = -∞)
17	16	neqned 2801	1 ⊢ (𝐴 ∈ (0[,]+∞) → 𝐴 ≠ -∞)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ w3a 1037   = wceq 1483   ∈ wcel 1990   ≠ wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650  0cc0 9936  +∞cpnf 10071  -∞cmnf 10072  ℝ^*cxr 10073   < clt 10074   ≤ cle 10075  [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrge0nre  12277  xrge0adddir  29692  xrge0npcan  29694  hasheuni  30147  esumcvgre  30153  carsgclctunlem2  30381  sge0nemnf  40637