Theorem xrge0neqmnf 12276

Description: An extended nonnegative real cannot be minus infinity. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
xrge0neqmnf	|- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Proof of Theorem xrge0neqmnf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnflt0 11959	. . . . 5 |- -oo < 0
2		mnfxr 10096	. . . . . 6 |- -oo e. RR*
3		0xr 10086	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
4		xrltnle 10105	. . . . . 6 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo ) )
5	2, 3, 4	mp2an 708	. . . . 5 |- ( -oo < 0 <-> -. 0 <_ -oo )
6	1, 5	mpbi 220	. . . 4 |- -. 0 <_ -oo
7		simp2 1062	. . . . 5 |- ( ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> 0 <_ -oo )
8	7	con3i 150	. . . 4 |- ( -. 0 <_ -oo -> -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
9		pnfxr 10092	. . . . . . 7 |- +oo e. RR*
10		elicc1 12219	. . . . . . 7 |- ( ( 0 e. RR* /\ +oo e. RR* ) -> ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) ) )
11	3, 9, 10	mp2an 708	. . . . . 6 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
12	11	biimpi 206	. . . . 5 |- ( -oo e. ( 0 [,] +oo ) -> ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) )
13	12	con3i 150	. . . 4 |- ( -. ( -oo e. RR* /\ 0 <_ -oo /\ -oo <_ +oo ) -> -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) )
14	6, 8, 13	mp2b 10	. . 3 |- -. -oo e. ( 0 [,] +oo )
15		nelneq 2725	. . 3 |- ( ( A e. ( 0 [,] +oo ) /\ -. -oo e. ( 0 [,] +oo ) ) -> -. A = -oo )
16	14, 15	mpan2 707	. 2 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> -. A = -oo )
17	16	neqned 2801	1 |- ( A e. ( 0 [,] +oo ) -> A =/= -oo )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   0cc0 9936   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182

This theorem is referenced by:  xrge0nre  12277  xrge0adddir  29692  xrge0npcan  29694  hasheuni  30147  esumcvgre  30153  carsgclctunlem2  30381  sge0nemnf  40637