Theorem 00sr 6946

Description: A signed real times 0 is 0. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
00sr	|- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )

Proof of Theorem 00sr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6904	. 2 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
2		oveq1 5539	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R 0R ) = ( A .R 0R ) )
3	2	eqeq1d 2089	. 2 |- ( [ <. x , y >. ] ~R = A -> ( ( [ <. x , y >. ] ~R .R 0R ) = 0R <-> ( A .R 0R ) = 0R ) )
4		1pr 6744	. . . . 5 |- 1P e. P.
5		mulsrpr 6923	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R )
6	4, 4, 5	mpanr12 429	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R )
7		mulclpr 6762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( x .P. 1P ) e. P. )
8	4, 7	mpan2 415	. . . . . . . . 9 |- ( x e. P. -> ( x .P. 1P ) e. P. )
9		mulclpr 6762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( y .P. 1P ) e. P. )
10	4, 9	mpan2 415	. . . . . . . . 9 |- ( y e. P. -> ( y .P. 1P ) e. P. )
11		addclpr 6727	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .P. 1P ) e. P. /\ ( y .P. 1P ) e. P. ) -> ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. )
12	8, 10, 11	syl2an 283	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. )
13	12, 12	anim12i 331	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. ) )
14		eqid 2081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) +P. 1P ) = ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) +P. 1P )
15		enreceq 6913	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> ( [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R <-> ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) +P. 1P ) = ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) +P. 1P ) ) )
16	14, 15	mpbiri 166	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. /\ ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) e. P. ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
17	13, 16	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) /\ ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
18	4, 4, 17	mpanr12 429	. . . . 5 |- ( ( ( x e. P. /\ y e. P. ) /\ ( x e. P. /\ y e. P. ) ) -> [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
19	18	anidms 389	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> [ <. ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) , ( ( x .P. 1P ) +P. ( y .P. 1P ) ) >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
20	6, 19	eqtrd 2113	. . 3 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. 1P , 1P >. ] ~R ) = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
21		df-0r 6908	. . . 4 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
22	21	oveq2i 5543	. . 3 |- ( [ <. x , y >. ] ~R .R 0R ) = ( [ <. x , y >. ] ~R .R [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
23	20, 22, 21	3eqtr4g 2138	. 2 |- ( ( x e. P. /\ y e. P. ) -> ( [ <. x , y >. ] ~R .R 0R ) = 0R )
24	1, 3, 23	ecoptocl 6216	1 |- ( A e. R. -> ( A .R 0R ) = 0R )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   <.cop 3401  (class class class)co 5532   [cec 6127   P.cnp 6481   1Pc1p 6482   +P. cpp 6483   .P. cmp 6484   ~R cer 6486   R.cnr 6487   0Rc0r 6488   .R cmr 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-enr 6903  df-nr 6904  df-mr 6906  df-0r 6908

This theorem is referenced by:  pn0sr  6948  mulresr  7006  axi2m1  7041  axcnre  7047