Theorem 00sr 6946

Description: A signed real times 0 is 0. (Contributed by NM, 10-Apr-1996.)

Assertion

Ref	Expression
00sr	⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)

Proof of Theorem 00sr

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 6904	. 2 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 5539	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R 0R) = (𝐴 ·R 0R))
3	2	eqeq1d 2089	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R 0R) = 0R ↔ (𝐴 ·R 0R) = 0R))
4		1pr 6744	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
5		mulsrpr 6923	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R )
6	4, 4, 5	mpanr12 429	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R )
7		mulclpr 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑥 ·P 1P) ∈ P)
8	4, 7	mpan2 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ P → (𝑥 ·P 1P) ∈ P)
9		mulclpr 6762	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝑦 ·P 1P) ∈ P)
10	4, 9	mpan2 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ P → (𝑦 ·P 1P) ∈ P)
11		addclpr 6727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ·P 1P) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 1P) ∈ P) → ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P)
12	8, 10, 11	syl2an 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P)
13	12, 12	anim12i 331	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → (((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P))
14		eqid 2081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) +P 1P) = (((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) +P 1P)
15		enreceq 6913	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → ([⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R ↔ (((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) +P 1P) = (((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) +P 1P)))
16	14, 15	mpbiri 166	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)) ∈ P) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
17	13, 16	sylan 277	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) ∧ (1P ∈ P ∧ 1P ∈ P)) → [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
18	4, 4, 17	mpanr12 429	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P)) → [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
19	18	anidms 389	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → [⟨((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P)), ((𝑥 ·P 1P) +P (𝑦 ·P 1P))⟩] ~R = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
20	6, 19	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨1P, 1P⟩] ~R ) = [⟨1P, 1P⟩] ~R )
21		df-0r 6908	. . . 4 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
22	21	oveq2i 5543	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R 0R) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨1P, 1P⟩] ~R )
23	20, 22, 21	3eqtr4g 2138	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R 0R) = 0R)
24	1, 3, 23	ecoptocl 6216	1 ⊢ (𝐴 ∈ R → (𝐴 ·R 0R) = 0R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   = wceq 1284   ∈ wcel 1433  ⟨cop 3401  (class class class)co 5532  [cec 6127  Pcnp 6481  1_Pc1p 6482   +_P cpp 6483   ·_P cmp 6484   ~_R cer 6486  Rcnr 6487  0_Rc0r 6488   ·_R cmr 6492

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-2o 6025  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-rq 6542  df-ltnqqs 6543  df-enq0 6614  df-nq0 6615  df-0nq0 6616  df-plq0 6617  df-mq0 6618  df-inp 6656  df-i1p 6657  df-iplp 6658  df-imp 6659  df-enr 6903  df-nr 6904  df-mr 6906  df-0r 6908

This theorem is referenced by:  pn0sr  6948  mulresr  7006  axi2m1  7041  axcnre  7047