Theorem 2tnp1ge0ge0 9303

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	|- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8379	. . . . . . 7 |- 2 e. ZZ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. ZZ )
3		id 19	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. ZZ )
4	2, 3	zmulcld 8475	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. ZZ )
5	4	peano2zd 8472	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. ZZ )
6	5	zred 8469	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR )
7		2re 8109	. . . 4 |- 2 e. RR
8	7	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 2 e. RR )
9		2pos 8130	. . . 4 |- 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 |- ( N e. ZZ -> 0 < 2 )
11		ge0div 7949	. . 3 |- ( ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) e. RR /\ 2 e. RR /\ 0 < 2 ) -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1169	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) ) )
13	4	zcnd 8470	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 x. N ) e. CC )
14		1cnd 7135	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> 1 e. CC )
15		2cn 8110	. . . . . . 7 |- 2 e. CC
16		2ap0 8132	. . . . . . 7 |- 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 266	. . . . . 6 |- ( 2 e. CC /\ 2 # 0 )
18	17	a1i 9	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) )
19		divdirap 7785	. . . . 5 |- ( ( ( 2 x. N ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( 2 e. CC /\ 2 # 0 ) ) -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1169	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) )
21		zcn 8356	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
22		2cnd 8112	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 e. CC )
23	16	a1i 9	. . . . . 6 |- ( N e. ZZ -> 2 # 0 )
24	21, 22, 23	divcanap3d 7882	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> ( ( 2 x. N ) / 2 ) = N )
25	24	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) / 2 ) + ( 1 / 2 ) ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
26	20, 25	eqtrd 2113	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) = ( N + ( 1 / 2 ) ) )
27	26	breq2d 3797	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( ( 2 x. N ) + 1 ) / 2 ) <-> 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
28		zre 8355	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
29		halfre 8244	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) e. RR
30	29	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) e. RR )
31	28, 30	readdcld 7148	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR )
32		halfge0 8247	. . . 4 |- 0 <_ ( 1 / 2 )
33	28, 30	addge01d 7633	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( 1 / 2 ) <-> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) ) )
34	32, 33	mpbii 146	. . 3 |- ( N e. ZZ -> N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) )
35		1red 7134	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> 1 e. RR )
36		halflt1 8248	. . . . 5 |- ( 1 / 2 ) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( 1 / 2 ) < 1 )
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 7526	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) )
39		btwnzge0 9302	. . 3 |- ( ( ( ( N + ( 1 / 2 ) ) e. RR /\ N e. ZZ ) /\ ( N <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) /\ ( N + ( 1 / 2 ) ) < ( N + 1 ) ) ) -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1170	. 2 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( N + ( 1 / 2 ) ) <-> 0 <_ N ) )
41	12, 27, 40	3bitrd 212	1 |- ( N e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. N ) + 1 ) <-> 0 <_ N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   # cap 7681   / cdiv 7760   2c2 8089   ZZcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  10280