Theorem oddnn02np1 10280

Description: A nonnegative integer is odd iff it is one plus twice another nonnegative integer. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddnn02np1	|- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Distinct variable group:   n, N

Proof of Theorem oddnn02np1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2141	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> N e. NN0 ) )
2		elnn0z 8364	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 <-> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) )
3		2tnp1ge0ge0 9303	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) <-> 0 <_ n ) )
4	3	biimpd 142	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> 0 <_ n ) )
5	4	imdistani 433	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. ZZ /\ 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) ) -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
6	5	expcom 114	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) ) )
7		elnn0z 8364	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN0 <-> ( n e. ZZ /\ 0 <_ n ) )
8	6, 7	syl6ibr 160	. . . . . . . . 9 |- ( 0 <_ ( ( 2 x. n ) + 1 ) -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
9	2, 8	simplbiim 379	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) )
10	1, 9	syl6bir 162	. . . . . . 7 |- ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> ( N e. NN0 -> ( n e. ZZ -> n e. NN0 ) ) )
11	10	com13 79	. . . . . 6 |- ( n e. ZZ -> ( N e. NN0 -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) ) )
12	11	impcom 123	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N -> n e. NN0 ) )
13	12	pm4.71rd 386	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
14	13	bicomd 139	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ n e. ZZ ) -> ( ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
15	14	rexbidva 2365	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
16		nn0ssz 8369	. . 3 |- NN0 C_ ZZ
17		rexss 3061	. . 3 |- ( NN0 C_ ZZ -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
18	16, 17	mp1i 10	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N <-> E. n e. ZZ ( n e. NN0 /\ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) ) )
19		nn0z 8371	. . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
20		odd2np1 10272	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
21	19, 20	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. ZZ ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )
22	15, 18, 21	3bitr4rd 219	1 |- ( N e. NN0 -> ( -. 2 || N <-> E. n e. NN0 ( ( 2 x. n ) + 1 ) = N ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   E.wrex 2349   C_ wss 2973   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   <_ cle 7154   2c2 8089   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   || cdvds 10195

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-xor 1307  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352  df-dvds 10196

This theorem is referenced by:  oddge22np1  10281