Theorem 2tnp1ge0ge0 9303

Description: Two times an integer plus one is not negative iff the integer is not negative. (Contributed by AV, 19-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2tnp1ge0ge0	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem 2tnp1ge0ge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 8379	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
3		id 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	zmulcld 8475	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
5	4	peano2zd 8472	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℤ)
6	5	zred 8469	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ)
7		2re 8109	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8	7	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
9		2pos 8130	. . . 4 ⊢ 0 < 2
10	9	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 0 < 2)
11		ge0div 7949	. . 3 ⊢ ((((2 · 𝑁) + 1) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2) → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
12	6, 8, 10, 11	syl3anc 1169	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2)))
13	4	zcnd 8470	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
14		1cnd 7135	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
15		2cn 8110	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
16		2ap0 8132	. . . . . . 7 ⊢ 2 # 0
17	15, 16	pm3.2i 266	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)
18	17	a1i 9	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0))
19		divdirap 7785	. . . . 5 ⊢ (((2 · 𝑁) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 # 0)) → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
20	13, 14, 18, 19	syl3anc 1169	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)))
21		zcn 8356	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		2cnd 8112	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
23	16	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 # 0)
24	21, 22, 23	divcanap3d 7882	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁) / 2) = 𝑁)
25	24	oveq1d 5547	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) / 2) + (1 / 2)) = (𝑁 + (1 / 2)))
26	20, 25	eqtrd 2113	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1) / 2) = (𝑁 + (1 / 2)))
27	26	breq2d 3797	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (((2 · 𝑁) + 1) / 2) ↔ 0 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
28		zre 8355	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
29		halfre 8244	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
30	29	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) ∈ ℝ)
31	28, 30	readdcld 7148	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
32		halfge0 8247	. . . 4 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
33	28, 30	addge01d 7633	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (1 / 2) ↔ 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2))))
34	32, 33	mpbii 146	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)))
35		1red 7134	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
36		halflt1 8248	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) < 1
37	36	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1 / 2) < 1)
38	30, 35, 28, 37	ltadd2dd 7526	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))
39		btwnzge0 9302	. . 3 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ∧ (𝑁 + (1 / 2)) < (𝑁 + 1))) → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
40	31, 3, 34, 38, 39	syl22anc 1170	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑁 + (1 / 2)) ↔ 0 ≤ 𝑁))
41	12, 27, 40	3bitrd 212	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ≤ ((2 · 𝑁) + 1) ↔ 0 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154   # cap 7681   / cdiv 7760  2c2 8089  ℤcz 8351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-2 8098  df-n0 8289  df-z 8352

This theorem is referenced by:  oddnn02np1  10280