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Theorem indpi 6532
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
indpi.2 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
indpi.3 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
indpi.4 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
indpi.5 |- ps
indpi.6 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi |- ( A e. N. -> ta )
Distinct variable groups:   x, y   x, A   ps, x   ch, x   th, x   ta, x   ph, y
Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)   ch( y)   th( y)   ta( y)   A( y)
Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 indpi.4 . 2 |- ( x = A -> ( ph <-> ta ) )
2 elni 6498 . . 3 |- ( x e. N. <-> ( x e. om /\ x =/= (/) ) )
3 eqid 2081 . . . . . . . . . 10 |- (/) = (/)
43orci 682 . . . . . . . . 9 |- ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
5 nfv 1461 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x (/) = (/)
6 nfsbc1v 2833 . . . . . . . . . . 11 |- F/ x [. (/) / x ]. ph
75, 6nfor 1506 . . . . . . . . . 10 |- F/ x ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph )
8 0ex 3905 . . . . . . . . . 10 |- (/) e. _V
9 eqeq1 2087 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( x = (/) <-> (/) = (/) ) )
10 sbceq1a 2824 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = (/) -> ( ph <-> [. (/) / x ]. ph ) )
119, 10orbi12d 739 . . . . . . . . . 10 |- ( x = (/) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) ) )
127, 8, 11elabf 2737 . . . . . . . . 9 |- ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( (/) = (/) \/ [. (/) / x ]. ph ) )
134, 12mpbir 144 . . . . . . . 8 |- (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
14 suceq 4157 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> suc y = suc (/) )
15 df-1o 6024 . . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o = suc (/)
1614, 15syl6eqr 2131 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> suc y = 1o )
17 indpi.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ps
1817olci 683 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o = (/) \/ ps )
19 1onn 6116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1o e. om
2019elexi 2611 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o e. _V
21 eqeq1 2087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( x = (/) <-> 1o = (/) ) )
22 indpi.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = 1o -> ( ph <-> ps ) )
2321, 22orbi12d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = 1o -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( 1o = (/) \/ ps ) ) )
2420, 23elab 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( 1o = (/) \/ ps ) )
2518, 24mpbir 144 . . . . . . . . . . . . 13 |- 1o e. { x | ( x = (/) \/ ph ) }
2616, 25syl6eqel 2169 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y = (/) -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
2726a1d 22 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
29 indpi.6 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch -> th ) )
30 elni 6498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. <-> ( y e. om /\ y =/= (/) ) )
3130simprbi 269 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> y =/= (/) )
3231neneqd 2266 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. y = (/) )
33 biorf 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. y = (/) -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3432, 33syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ch <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
35 vex 2604 . . . . . . . . . . . . . 14 |- y e. _V
36 eqeq1 2087 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( x = (/) <-> y = (/) ) )
37 indpi.2 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = y -> ( ph <-> ch ) )
3836, 37orbi12d 739 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( y = (/) \/ ch ) ) )
3935, 38elab 2738 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( y = (/) \/ ch ) )
4034, 39syl6bbr 196 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( ch <-> y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
41 1pi 6505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1o e. N.
42 addclpi 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) e. N. )
4341, 42mpan2 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) e. N. )
44 elni 6498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y +N 1o ) e. N. <-> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4543, 44sylib 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. om /\ ( y +N 1o ) =/= (/) ) )
4645simprd 112 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) =/= (/) )
4746neneqd 2266 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> -. ( y +N 1o ) = (/) )
48 biorf 695 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. ( y +N 1o ) = (/) -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
4947, 48syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( th <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
50 eqeq1 2087 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( x = (/) <-> ( y +N 1o ) = (/) ) )
51 indpi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ph <-> th ) )
5250, 51orbi12d 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = ( y +N 1o ) -> ( ( x = (/) \/ ph ) <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5352elabg 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y +N 1o ) e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
5443, 53syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( ( y +N 1o ) = (/) \/ th ) ) )
55 addpiord 6506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. N. /\ 1o e. N. ) -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
5641, 55mpan2 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = ( y +o 1o ) )
57 pion 6500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. N. -> y e. On )
58 oa1suc 6070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y e. On -> ( y +o 1o ) = suc y )
5957, 58syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. N. -> ( y +o 1o ) = suc y )
6056, 59eqtrd 2113 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. N. -> ( y +N 1o ) = suc y )
6160eleq1d 2147 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. N. -> ( ( y +N 1o ) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6249, 54, 613bitr2d 214 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. N. -> ( th <-> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6329, 40, 623imtr3d 200 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
6463a1i 9 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y e. N. -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) )
65 nndceq0 4357 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> DECID y = (/) )
66 df-dc 776 . . . . . . . . . . . 12 |- (DECID y = (/) <-> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
6765, 66sylib 120 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ -. y = (/) ) )
68 idd 21 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. om -> ( y = (/) -> y = (/) ) )
6968necon3bd 2288 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y =/= (/) ) )
7069anc2li 322 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> ( y e. om /\ y =/= (/) ) ) )
7170, 30syl6ibr 160 . . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. om -> ( -. y = (/) -> y e. N. ) )
7271orim2d 734 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. om -> ( ( y = (/) \/ -. y = (/) ) -> ( y = (/) \/ y e. N. ) ) )
7367, 72mpd 13 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. om -> ( y = (/) \/ y e. N. ) )
7428, 64, 73mpjaod 670 . . . . . . . . 9 |- ( y e. om -> ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) )
7574rgen 2416 . . . . . . . 8 |- A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
76 peano5 4339 . . . . . . . 8 |- ( ( (/) e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } /\ A. y e. om ( y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } -> suc y e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } ) ) -> om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
7713, 75, 76mp2an 416 . . . . . . 7 |- om C_ { x | ( x = (/) \/ ph ) }
7877sseli 2995 . . . . . 6 |- ( x e. om -> x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } )
79 abid 2069 . . . . . 6 |- ( x e. { x | ( x = (/) \/ ph ) } <-> ( x = (/) \/ ph ) )
8078, 79sylib 120 . . . . 5 |- ( x e. om -> ( x = (/) \/ ph ) )
8180adantr 270 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( x = (/) \/ ph ) )
82 df-ne 2246 . . . . . 6 |- ( x =/= (/) <-> -. x = (/) )
83 biorf 695 . . . . . 6 |- ( -. x = (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8482, 83sylbi 119 . . . . 5 |- ( x =/= (/) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8584adantl 271 . . . 4 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ( ph <-> ( x = (/) \/ ph ) ) )
8681, 85mpbird 165 . . 3 |- ( ( x e. om /\ x =/= (/) ) -> ph )
872, 86sylbi 119 . 2 |- ( x e. N. -> ph )
881, 87vtoclga 2664 1 |- ( A e. N. -> ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661  DECID wdc 775   = wceq 1284   e. wcel 1433   {cab 2067   =/= wne 2245   A.wral 2348   [.wsbc 2815   C_ wss 2973   (/)c0 3251   Oncon0 4118   suc csuc 4120   omcom 4331  (class class class)co 5532   1oc1o 6017   +o coa 6021   N.cnpi 6462   +N cpli 6463
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-ni 6494  df-pli 6495
This theorem is referenced by:  pitonn  7016
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