Theorem bj-nntrans 10746

Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nntrans	|- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ral0 3342	. . 3 |- A. x e. (/) x C_ (/)
2		df-suc 4126	. . . . . . 7 |- suc z = ( z u. { z } )
3	2	eleq2i 2145	. . . . . 6 |- ( x e. suc z <-> x e. ( z u. { z } ) )
4		elun 3113	. . . . . . 7 |- ( x e. ( z u. { z } ) <-> ( x e. z \/ x e. { z } ) )
5		sssucid 4170	. . . . . . . . . 10 |- z C_ suc z
6		sstr2 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( x C_ z -> ( z C_ suc z -> x C_ suc z ) )
7	5, 6	mpi 15	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ z -> x C_ suc z )
8	7	imim2i 12	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. z -> x C_ suc z ) )
9		elsni 3416	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. { z } -> x = z )
10	9, 5	syl6eqss 3049	. . . . . . . . 9 |- ( x e. { z } -> x C_ suc z )
11	10	a1i 9	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. { z } -> x C_ suc z ) )
12	8, 11	jaod 669	. . . . . . 7 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( ( x e. z \/ x e. { z } ) -> x C_ suc z ) )
13	4, 12	syl5bi 150	. . . . . 6 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. ( z u. { z } ) -> x C_ suc z ) )
14	3, 13	syl5bi 150	. . . . 5 |- ( ( x e. z -> x C_ z ) -> ( x e. suc z -> x C_ suc z ) )
15	14	ralimi2 2423	. . . 4 |- ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
16	15	rgenw 2418	. . 3 |- A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z )
17		bdcv 10639	. . . . . 6 |- BOUNDED y
18	17	bdss 10655	. . . . 5 |- BOUNDED x C_ y
19	18	ax-bdal 10609	. . . 4 |- BOUNDED A. x e. y x C_ y
20		nfv 1461	. . . 4 |- F/ y A. x e. (/) x C_ (/)
21		nfv 1461	. . . 4 |- F/ y A. x e. z x C_ z
22		nfv 1461	. . . 4 |- F/ y A. x e. suc z x C_ suc z
23		sseq2 3021	. . . . . 6 |- ( y = (/) -> ( x C_ y <-> x C_ (/) ) )
24	23	raleqbi1dv 2557	. . . . 5 |- ( y = (/) -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. (/) x C_ (/) ) )
25	24	biimprd 156	. . . 4 |- ( y = (/) -> ( A. x e. (/) x C_ (/) -> A. x e. y x C_ y ) )
26		sseq2 3021	. . . . . 6 |- ( y = z -> ( x C_ y <-> x C_ z ) )
27	26	raleqbi1dv 2557	. . . . 5 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. z x C_ z ) )
28	27	biimpd 142	. . . 4 |- ( y = z -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. z x C_ z ) )
29		sseq2 3021	. . . . . 6 |- ( y = suc z -> ( x C_ y <-> x C_ suc z ) )
30	29	raleqbi1dv 2557	. . . . 5 |- ( y = suc z -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. suc z x C_ suc z ) )
31	30	biimprd 156	. . . 4 |- ( y = suc z -> ( A. x e. suc z x C_ suc z -> A. x e. y x C_ y ) )
32		nfcv 2219	. . . 4 |- F/_ y A
33		nfv 1461	. . . 4 |- F/ y A. x e. A x C_ A
34		sseq2 3021	. . . . . 6 |- ( y = A -> ( x C_ y <-> x C_ A ) )
35	34	raleqbi1dv 2557	. . . . 5 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y <-> A. x e. A x C_ A ) )
36	35	biimpd 142	. . . 4 |- ( y = A -> ( A. x e. y x C_ y -> A. x e. A x C_ A ) )
37	19, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36	bj-bdfindisg 10743	. . 3 |- ( ( A. x e. (/) x C_ (/) /\ A. z e. om ( A. x e. z x C_ z -> A. x e. suc z x C_ suc z ) ) -> ( A e. om -> A. x e. A x C_ A ) )
38	1, 16, 37	mp2an 416	. 2 |- ( A e. om -> A. x e. A x C_ A )
39		nfv 1461	. . 3 |- F/ x B C_ A
40		sseq1 3020	. . 3 |- ( x = B -> ( x C_ A <-> B C_ A ) )
41	39, 40	rspc 2695	. 2 |- ( B e. A -> ( A. x e. A x C_ A -> B C_ A ) )
42	38, 41	syl5com 29	1 |- ( A e. om -> ( B e. A -> B C_ A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 661   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   u. cun 2971   C_ wss 2973   (/)c0 3251   {csn 3398   suc csuc 4120   omcom 4331

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-nul 3904  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-bd0 10604  ax-bdor 10607  ax-bdal 10609  ax-bdex 10610  ax-bdeq 10611  ax-bdel 10612  ax-bdsb 10613  ax-bdsep 10675  ax-infvn 10736

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-rab 2357  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-sn 3404  df-pr 3405  df-uni 3602  df-int 3637  df-suc 4126  df-iom 4332  df-bdc 10632  df-bj-ind 10722

This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  10747  bj-nnelirr  10748  bj-nnen2lp  10749