Theorem bren 6251

Description: Equinumerosity relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
bren	|- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Proof of Theorem bren

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		encv 6250	. 2 |- ( A ~~ B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
2		f1ofn 5147	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f Fn A )
3		fndm 5018	. . . . . 6 |- ( f Fn A -> dom f = A )
4		vex 2604	. . . . . . 7 |- f e. _V
5	4	dmex 4616	. . . . . 6 |- dom f e. _V
6	3, 5	syl6eqelr 2170	. . . . 5 |- ( f Fn A -> A e. _V )
7	2, 6	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> A e. _V )
8		f1ofo 5153	. . . . . 6 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> f : A -onto-> B )
9		forn 5129	. . . . . 6 |- ( f : A -onto-> B -> ran f = B )
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ran f = B )
11	4	rnex 4617	. . . . 5 |- ran f e. _V
12	10, 11	syl6eqelr 2170	. . . 4 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> B e. _V )
13	7, 12	jca 300	. . 3 |- ( f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
14	13	exlimiv 1529	. 2 |- ( E. f f : A -1-1-onto-> B -> ( A e. _V /\ B e. _V ) )
15		f1oeq2 5138	. . . 4 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> y ) )
16	15	exbidv 1746	. . 3 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> y ) )
17		f1oeq3 5139	. . . 4 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-onto-> y <-> f : A -1-1-onto-> B ) )
18	17	exbidv 1746	. . 3 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-onto-> y <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
19		df-en 6245	. . 3 |- ~~ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-onto-> y }
20	16, 18, 19	brabg 4024	. 2 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B ) )
21	1, 14, 20	pm5.21nii 652	1 |- ( A ~~ B <-> E. f f : A -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   ran crn 4364   Fn wfn 4917   -onto->wfo 4920   -1-1-onto->wf1o 4921   ~~ cen 6242

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-dm 4373  df-rn 4374  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-en 6245

This theorem is referenced by:  domen  6255  f1oen3g  6257  ener  6282  en0  6298  ensn1  6299  en1  6302  unen  6316  enm  6317  phplem4  6341  phplem4on  6353  fidceq  6354  dif1en  6364  fin0  6369  fin0or  6370  en2eqpr  6380