expival - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem expival 9478

Description: Value of exponentiation to integer powers. (Contributed by Jim Kingdon, 7-Jun-2020.)

**Assertion**
Ref	Expression
expival	$/\$ $/\$ # $\/$

Proof of Theorem expival Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iftrue 3356	. . . . 5
2		ax-1cn 7069	. . . . 5
3	1, 2	syl6eqel 2169	. . . 4
4	3	a1i 9	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$
5		elnnz 8361	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
6		elnnuz 8655	. . . . . . . . . . . . . 14
7	5, 6	bitr3i 184	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
8	7	biimpi 118	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
9	8	adantll 459	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
10		cnex 7097	. . . . . . . . . . . 12
11	10	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
12		simpl 107	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
13		elnnuz 8655	. . . . . . . . . . . . . . . 16
14		fvconst2g 5396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
15	13, 14	sylan2br 282	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
16	15	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
17	12, 16	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
18	17	adantlr 460	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
19	18	adantlr 460	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
20		mulcl 7100	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
21	20	adantl 271	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
22	9, 11, 19, 21	iseqcl 9443	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
23		iftrue 3356	. . . . . . . . . . . 12
24	23	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . 11
25	24	adantl 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
26	22, 25	mpbird 165	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
27	26	ex 113	. . . . . . . 8 $/\$
28	27	adantr 270	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
29	28	3adantl3 1096	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
30		simpll2 978	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
31	30	znegcld 8471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
32		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
33	30	zred 8469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
34		0red 7120	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
35	33, 34	lenltd 7227	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
36	32, 35	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
37		simplr 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
38	37	neneqad 2324	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
39	38	necomd 2331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
40		0z 8362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
41		zltlen 8426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
42	40, 41	mpan2 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
43	42	3ad2ant2 960	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
44	43	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
45	36, 39, 44	mpbir2and 885	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
46	33	lt0neg1d 7616	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
47	45, 46	mpbid 145	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
48		elnnz 8361	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
49	31, 47, 48	sylanbrc 408	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
50		elnnuz 8655	. . . . . . . . . . 11
51	49, 50	sylib 120	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
52	10	a1i 9	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
53	17	3ad2antl1 1100	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
54	53	adantlr 460	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
55	54	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$
56	20	adantl 271	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57	51, 52, 55, 56	iseqcl 9443	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
58		simpll1 977	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
59		expivallem 9477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ # $/\$ #
60	59	3com23 1144	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # #
61	60	3expia 1140	. . . . . . . . . . 11 $/\$ # #
62	58, 49, 61	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ # #
63	39	neneqd 2266	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
64		ioran 701	. . . . . . . . . . . . 13 $\/$ $/\$
65	32, 63, 64	sylanbrc 408	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
66		zleloe 8398	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $\/$
67	40, 66	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . 14 $\/$
68	67	3ad2ant2 960	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ # $\/$ $\/$
69	68	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ $\/$
70	65, 69	mtbird 630	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
71	70	pm2.21d 581	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ #
72		simpll3 979	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ # $\/$
73	62, 71, 72	mpjaod 670	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$ #
74	57, 73	recclapd 7869	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
75		iffalse 3359	. . . . . . . . . 10
76	75	eleq1d 2147	. . . . . . . . 9
77	76	adantl 271	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
78	74, 77	mpbird 165	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $/\$
79	78	ex 113	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
80		zdclt 8425	. . . . . . . . . . 11 $/\$ DECID
81	40, 80	mpan 414	. . . . . . . . . 10 DECID
82		df-dc 776	. . . . . . . . . 10 DECID $\/$
83	81, 82	sylib 120	. . . . . . . . 9 $\/$
84	83	adantl 271	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
85	84	adantr 270	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $\/$
86	85	3adantl3 1096	. . . . . 6 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$ $\/$
87	29, 79, 86	mpjaod 670	. . . . 5 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
88		iffalse 3359	. . . . . . 7
89	88	eleq1d 2147	. . . . . 6
90	89	adantl 271	. . . . 5 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
91	87, 90	mpbird 165	. . . 4 $/\$ $/\$ # $\/$ $/\$
92	91	ex 113	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$
93		zdceq 8423	. . . . . 6 $/\$ DECID
94	40, 93	mpan2 415	. . . . 5 DECID
95		df-dc 776	. . . . 5 DECID $\/$
96	94, 95	sylib 120	. . . 4 $\/$
97	96	3ad2ant2 960	. . 3 $/\$ $/\$ # $\/$ $\/$
98	4, 92, 97	mpjaod 670	. 2 $/\$ $/\$ # $\/$
99		sneq 3409	. . . . . . . 8
100	99	xpeq2d 4387	. . . . . . 7
101		iseqeq3 9436	. . . . . . 7
102	100, 101	syl 14	. . . . . 6
103	102	fveq1d 5200	. . . . 5
104	102	fveq1d 5200	. . . . . 6
105	104	oveq2d 5548	. . . . 5
106	103, 105	ifeq12d 3368	. . . 4
107	106	ifeq2d 3367	. . 3
108		eqeq1 2087	. . . 4
109		breq2 3789	. . . . 5
110		fveq2 5198	. . . . 5
111		negeq 7301	. . . . . . 7
112	111	fveq2d 5202	. . . . . 6
113	112	oveq2d 5548	. . . . 5
114	109, 110, 113	ifbieq12d 3375	. . . 4
115	108, 114	ifbieq2d 3373	. . 3
116		df-iexp 9476	. . 3
117	107, 115, 116	ovmpt2g 5655	. 2 $/\$ $/\$
118	98, 117	syld3an3 1214	1 $/\$ $/\$ # $\/$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $\/$ wo 661 DECID wdc 775 $/\$ w3a 919

wceq 1284

wcel 1433

wne 2245

cvv 2601

cif 3351

csn 3398 class class class wbr 3785

cxp 4361

cfv 4922 (class class class)co 5532

cc 6979

cc0 6981

c1 6982

cmul 6986

clt 7153

cle 7154

cneg 7280 # cap 7681

cdiv 7760

cn 8039

cz 8351

cuz 8619

cseq 9431

cexp 9475

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-iseq 9432 df-iexp 9476

This theorem is referenced by: expinnval 9479 exp0 9480 expnegap0 9484

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