Theorem lenltd 7227

Description: 'Less than or equal to' in terms of 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltd.2	|- ( ph -> B e. RR )

Assertion

Ref	Expression
lenltd	|- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Proof of Theorem lenltd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltd.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
3		lenlt 7187	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )
4	1, 2, 3	syl2anc 403	1 |- ( ph -> ( A <_ B <-> -. B < A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 103   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   < clt 7153   <_ cle 7154

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-xr 7157  df-le 7159

This theorem is referenced by:  ltnsymd  7229  nltled  7230  lensymd  7231  leadd1  7534  lemul1  7693  leltap  7724  ap0gt0  7738  prodgt0  7930  prodge0  7932  lediv1  7947  lemuldiv  7959  lerec  7962  lt2msq  7964  le2msq  7979  squeeze0  7982  suprleubex  8032  0mnnnnn0  8320  elnn0z  8364  uzm1  8649  fztri3or  9058  fzdisj  9071  uzdisj  9110  nn0disj  9148  fzouzdisj  9189  elfzonelfzo  9239  flqeqceilz  9320  modifeq2int  9388  modsumfzodifsn  9398  expival  9478  expcanlem  9643  resqrexlemoverl  9907  leabs  9960  absle  9975  maxleast  10099  minmax  10112  climge0  10163