Theorem facwordi 9667

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	|- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( M <_ j <-> M <_ 0 ) )
2	1	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) ) )
3		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( j = 0 -> ( ! ` j ) = ( ! ` 0 ) )
4	3	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( j = 0 -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) )
5	2, 4	imbi12d 232	. . . 4 |- ( j = 0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) ) ) )
6		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( M <_ j <-> M <_ k ) )
7	6	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ k ) ) )
8		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( j = k -> ( ! ` j ) = ( ! ` k ) )
9	8	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( j = k -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) )
10	7, 9	imbi12d 232	. . . 4 |- ( j = k -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
11		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( M <_ j <-> M <_ ( k + 1 ) ) )
12	11	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) ) )
13		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ! ` j ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
14	13	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
15	12, 14	imbi12d 232	. . . 4 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
16		breq2 3789	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( M <_ j <-> M <_ N ) )
17	16	anbi2d 451	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) <-> ( M e. NN0 /\ M <_ N ) ) )
18		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( j = N -> ( ! ` j ) = ( ! ` N ) )
19	18	breq2d 3797	. . . . 5 |- ( j = N -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
20	17, 19	imbi12d 232	. . . 4 |- ( j = N -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ j ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` j ) ) <-> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) ) )
21		nn0le0eq0 8316	. . . . . . 7 |- ( M e. NN0 -> ( M <_ 0 <-> M = 0 ) )
22	21	biimpa 290	. . . . . 6 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> M = 0 )
23	22	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` 0 ) )
24		fac0 9655	. . . . . . 7 |- ( ! ` 0 ) = 1
25		1re 7118	. . . . . . 7 |- 1 e. RR
26	24, 25	eqeltri 2151	. . . . . 6 |- ( ! ` 0 ) e. RR
27	26	leidi 7586	. . . . 5 |- ( ! ` 0 ) <_ ( ! ` 0 )
28	23, 27	syl6eqbr 3822	. . . 4 |- ( ( M e. NN0 /\ M <_ 0 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` 0 ) )
29		impexp 259	. . . . 5 |- ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) <-> ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) )
30		simpl 107	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. NN0 )
31	30	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> M e. ZZ )
32		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
33	32	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
34	33	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
35		zleloe 8398	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. ZZ /\ ( k + 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
36	31, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) <-> ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) ) )
37		nn0leltp1 8414	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k <-> M < ( k + 1 ) ) )
38		faccl 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN )
39	38	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. RR )
40		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> k e. RR )
41		peano2re 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. RR -> ( k + 1 ) e. RR )
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. RR )
43	38	nnnn0d 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) e. NN0 )
44	43	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 0 <_ ( ! ` k ) )
45		nn0p1nn 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN )
46	45	nnge1d 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> 1 <_ ( k + 1 ) )
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 8015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
48		facp1 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) = ( ( ! ` k ) x. ( k + 1 ) ) )
49	47, 48	breqtrrd 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
50	49	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) )
51		faccl 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. NN )
52	51	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) e. RR )
53	52	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` M ) e. RR )
54	39	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` k ) e. RR )
55	32	faccld 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. NN )
56	55	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. NN0 -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
57	56	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR )
58		letr 7194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ! ` M ) e. RR /\ ( ! ` k ) e. RR /\ ( ! ` ( k + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) /\ ( ! ` k ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
60	50, 59	mpan2d 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
61	60	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
62	61	com23 77	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ k -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
63	37, 62	sylbird 168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M < ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
64		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) )
65	52	leidd 7615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. NN0 -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) )
66		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ( ! ` M ) <_ ( ! ` M ) <-> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
67	65, 66	syl5ibcom 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( M e. NN0 -> ( ( ! ` M ) = ( ! ` ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( M e. NN0 -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
69	68	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) )
70	69	a1dd 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M = ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
71	63, 70	jaod 669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( ( M < ( k + 1 ) \/ M = ( k + 1 ) ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
72	36, 71	sylbid 148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. NN0 ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
73	72	ex 113	. . . . . . . . 9 |- ( M e. NN0 -> ( k e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
74	73	com13 79	. . . . . . . 8 |- ( M <_ ( k + 1 ) -> ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
75	74	com4l 83	. . . . . . 7 |- ( k e. NN0 -> ( M e. NN0 -> ( ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
76	75	a2d 26	. . . . . 6 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( M e. NN0 -> ( M <_ ( k + 1 ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) ) )
77	76	imp4a 341	. . . . 5 |- ( k e. NN0 -> ( ( M e. NN0 -> ( M <_ k -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
78	29, 77	syl5bi 150	. . . 4 |- ( k e. NN0 -> ( ( ( M e. NN0 /\ M <_ k ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` k ) ) -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ ( k + 1 ) ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` ( k + 1 ) ) ) ) )
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 8461	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) ) )
80	79	3impib 1136	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ M e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )
81	80	3com12 1142	1 |- ( ( M e. NN0 /\ N e. NN0 /\ M <_ N ) -> ( ! ` M ) <_ ( ! ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   /\ w3a 919   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   x. cmul 6986   < clt 7153   <_ cle 7154   NN0cn0 8288   ZZcz 8351   !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-fac 9653

This theorem is referenced by:  facavg  9673