Theorem facwordi 9667

Description: Ordering property of factorial. (Contributed by NM, 9-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
facwordi	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Proof of Theorem facwordi

Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 0))
2	1	anbi2d 451	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0)))
3		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 0 → (!‘𝑗) = (!‘0))
4	3	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 0 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘0)))
5	2, 4	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))))
6		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑘))
7	6	anbi2d 451	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘)))
8		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (!‘𝑗) = (!‘𝑘))
9	8	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)))
10	7, 9	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑘 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
11		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)))
12	11	anbi2d 451	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1))))
13		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑗) = (!‘(𝑘 + 1)))
14	13	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
15	12, 14	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = (𝑘 + 1) → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
16		breq2 3789	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (𝑀 ≤ 𝑗 ↔ 𝑀 ≤ 𝑁))
17	16	anbi2d 451	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁)))
18		fveq2 5198	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (!‘𝑗) = (!‘𝑁))
19	18	breq2d 3797	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
20	17, 19	imbi12d 232	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑁 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑗) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑗)) ↔ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))))
21		nn0le0eq0 8316	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 0 ↔ 𝑀 = 0))
22	21	biimpa 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → 𝑀 = 0)
23	22	fveq2d 5202	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) = (!‘0))
24		fac0 9655	. . . . . . 7 ⊢ (!‘0) = 1
25		1re 7118	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
26	24, 25	eqeltri 2151	. . . . . 6 ⊢ (!‘0) ∈ ℝ
27	26	leidi 7586	. . . . 5 ⊢ (!‘0) ≤ (!‘0)
28	23, 27	syl6eqbr 3822	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 0) → (!‘𝑀) ≤ (!‘0))
29		impexp 259	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))))
30		simpl 107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
31	30	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
32		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
33	32	adantl 271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
34	33	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 + 1) ∈ ℤ)
35		zleloe 8398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
36	31, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) ↔ (𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1))))
37		nn0leltp1 8414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 ↔ 𝑀 < (𝑘 + 1)))
38		faccl 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
39	38	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℝ)
41		peano2re 7244	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℝ → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
42	40, 41	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
43	38	nnnn0d 8341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ∈ ℕ0)
44	43	nn0ge0d 8344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 0 ≤ (!‘𝑘))
45		nn0p1nn 8327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
46	45	nnge1d 8081	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 1 ≤ (𝑘 + 1))
47	39, 42, 44, 46	lemulge11d 8015	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
48		facp1 9657	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
49	47, 48	breqtrrd 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
50	49	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
51		faccl 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
52	51	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
53	52	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
54	39	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
55	32	faccld 9663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
56	55	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
57	56	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
58		letr 7194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((!‘𝑀) ∈ ℝ ∧ (!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
59	53, 54, 57, 58	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) ∧ (!‘𝑘) ≤ (!‘(𝑘 + 1))) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
60	50, 59	mpan2d 418	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
61	60	imim2d 53	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
62	61	com23 77	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ 𝑘 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
63	37, 62	sylbird 168	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 < (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
64		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)))
65	52	leidd 7615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀))
66		breq2 3789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → ((!‘𝑀) ≤ (!‘𝑀) ↔ (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
67	65, 66	syl5ibcom 153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → ((!‘𝑀) = (!‘(𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
68	64, 67	syl5 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
69	68	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))
70	69	a1dd 47	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 = (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
71	63, 70	jaod 669	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑀 < (𝑘 + 1) ∨ 𝑀 = (𝑘 + 1)) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
72	36, 71	sylbid 148	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
73	72	ex 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
74	73	com13 79	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
75	74	com4l 83	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
76	75	a2d 26	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ (𝑘 + 1) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1))))))
77	76	imp4a 341	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 ≤ 𝑘 → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘))) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
78	29, 77	syl5bi 150	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑘) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑘)) → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ (𝑘 + 1)) → (!‘𝑀) ≤ (!‘(𝑘 + 1)))))
79	5, 10, 15, 20, 28, 78	nn0ind 8461	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁)))
80	79	3impib 1136	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))
81	80	3com12 1142	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (!‘𝑀) ≤ (!‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   ∨ wo 661   ∧ w3a 919   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   · cmul 6986   < clt 7153   ≤ cle 7154  ℕ₀cn0 8288  ℤcz 8351  !cfa 9652

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432  df-fac 9653

This theorem is referenced by:  facavg  9673