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Theorem faclbnd 9668

Description: A lower bound for the factorial function. (Contributed by NM, 17-Dec-2005.)

**Assertion**
Ref	Expression
faclbnd	$/\$

Proof of Theorem faclbnd Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 8290	. 2 $\/$
2		oveq1 5539	. . . . . . . 8
3	2	oveq2d 5548	. . . . . . 7
4		fveq2 5198	. . . . . . . 8
5	4	oveq2d 5548	. . . . . . 7
6	3, 5	breq12d 3798	. . . . . 6
7	6	imbi2d 228	. . . . 5
8		oveq1 5539	. . . . . . . 8
9	8	oveq2d 5548	. . . . . . 7
10		fveq2 5198	. . . . . . . 8
11	10	oveq2d 5548	. . . . . . 7
12	9, 11	breq12d 3798	. . . . . 6
13	12	imbi2d 228	. . . . 5
14		oveq1 5539	. . . . . . . 8
15	14	oveq2d 5548	. . . . . . 7
16		fveq2 5198	. . . . . . . 8
17	16	oveq2d 5548	. . . . . . 7
18	15, 17	breq12d 3798	. . . . . 6
19	18	imbi2d 228	. . . . 5
20		oveq1 5539	. . . . . . . 8
21	20	oveq2d 5548	. . . . . . 7
22		fveq2 5198	. . . . . . . 8
23	22	oveq2d 5548	. . . . . . 7
24	21, 23	breq12d 3798	. . . . . 6
25	24	imbi2d 228	. . . . 5
26		nnre 8046	. . . . . . 7
27		nnge1 8062	. . . . . . 7
28		elnnuz 8655	. . . . . . . 8
29	28	biimpi 118	. . . . . . 7
30	26, 27, 29	leexp2ad 9634	. . . . . 6
31		0p1e1 8153	. . . . . . . 8
32	31	oveq2i 5543	. . . . . . 7
33	32	a1i 9	. . . . . 6
34		fac0 9655	. . . . . . . 8
35	34	oveq2i 5543	. . . . . . 7
36		nnnn0 8295	. . . . . . . . . 10
37	26, 36	reexpcld 9622	. . . . . . . . 9
38	37	recnd 7147	. . . . . . . 8
39	38	mulid1d 7136	. . . . . . 7
40	35, 39	syl5eq 2125	. . . . . 6
41	30, 33, 40	3brtr4d 3815	. . . . 5
42	26	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
43		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
44		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15
45	43, 44	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
46	42, 45	reexpcld 9622	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47	36	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
48	42, 47	reexpcld 9622	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
49	43	faccld 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
50	49	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
51	48, 50	remulcld 7149	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
52		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . 14
53		peano2re 7244	. . . . . . . . . . . . . 14
54	43, 52, 53	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
55		nngt0 8064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
56	55	ad3antrrr 475	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
57		0re 7119	. . . . . . . . . . . . . . . 16
58		ltle 7198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
59	57, 58	mpan 414	. . . . . . . . . . . . . . 15
60	42, 56, 59	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
61	42, 45, 60	expge0d 9623	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
62		simplr 496	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
63		simprr 498	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
64	46, 51, 42, 54, 61, 60, 62, 63	lemul12ad 8020	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
65	64	anandis 556	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
66		nncn 8047	. . . . . . . . . . . . 13
67		expp1 9483	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
68	66, 44, 67	syl2an 283	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
69	68	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
70		facp1 9657	. . . . . . . . . . . . . . 15
71	70	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
72	71	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
73	38	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
74		faccl 9662	. . . . . . . . . . . . . . . 16
75	74	nncnd 8053	. . . . . . . . . . . . . . 15
76	75	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
77		nn0cn 8298	. . . . . . . . . . . . . . . 16
78		peano2cn 7243	. . . . . . . . . . . . . . . 16
79	77, 78	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
80	79	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
81	73, 76, 80	mulassd 7142	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
82	72, 81	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . 12 $/\$
83	82	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$
84	65, 69, 83	3brtr4d 3815	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$
85	84	exp32 357	. . . . . . . . 9 $/\$
86	85	com23 77	. . . . . . . 8 $/\$
87		nn0ltp1le 8413	. . . . . . . . . . 11 $/\$
88	44, 36, 87	syl2anr 284	. . . . . . . . . 10 $/\$
89		peano2nn0 8328	. . . . . . . . . . . . . . 15
90	44, 89	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14
91		reexpcl 9493	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
92	26, 90, 91	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
93	92	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
94	37	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
95	44	faccld 9663	. . . . . . . . . . . . . . 15
96	95	nnred 8052	. . . . . . . . . . . . . 14
97		remulcl 7101	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$
98	37, 96, 97	syl2an 283	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
99	98	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
100	26	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
101	27	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
102		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
103	90	ad2antlr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
104	103	nn0zd 8467	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
105		nnz 8370	. . . . . . . . . . . . . . . 16
106	105	ad2antrr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
107		eluz 8632	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$
108	104, 106, 107	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	102, 108	mpbird 165	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	100, 101, 109	leexp2ad 9634	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
111	37, 96	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
112		nn0re 8297	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
113		id 19	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
114		nn0ge0 8313	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
115	112, 113, 114	expge0d 9623	. . . . . . . . . . . . . . . 16
116	36, 115	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15
117	95	nnge1d 8081	. . . . . . . . . . . . . . 15
118	116, 117	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
119		lemulge11 7944	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
120	111, 118, 119	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$
121	120	adantr 270	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
122	93, 94, 99, 110, 121	letrd 7233	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
123	122	ex 113	. . . . . . . . . 10 $/\$
124	88, 123	sylbid 148	. . . . . . . . 9 $/\$
125	124	a1dd 47	. . . . . . . 8 $/\$
126	105	adantr 270	. . . . . . . . 9 $/\$
127	44	adantl 271	. . . . . . . . . 10 $/\$
128	127	nn0zd 8467	. . . . . . . . 9 $/\$
129		zlelttric 8396	. . . . . . . . 9 $/\$ $\/$
130	126, 128, 129	syl2anc 403	. . . . . . . 8 $/\$ $\/$
131	86, 125, 130	mpjaod 670	. . . . . . 7 $/\$
132	131	expcom 114	. . . . . 6
133	132	a2d 26	. . . . 5
134	7, 13, 19, 25, 41, 133	nn0ind 8461	. . . 4
135	134	impcom 123	. . 3 $/\$
136		faccl 9662	. . . . . . . 8
137	136	nnnn0d 8341	. . . . . . 7
138	137	nn0ge0d 8344	. . . . . 6
139		nn0p1nn 8327	. . . . . . 7
140	139	0expd 9621	. . . . . 6
141		0exp0e1 9481	. . . . . . . 8
142	141	oveq1i 5542	. . . . . . 7
143	136	nncnd 8053	. . . . . . . 8
144	143	mulid2d 7137	. . . . . . 7
145	142, 144	syl5eq 2125	. . . . . 6
146	138, 140, 145	3brtr4d 3815	. . . . 5
147		oveq1 5539	. . . . . 6
148		oveq12 5541	. . . . . . . 8 $/\$
149	148	anidms 389	. . . . . . 7
150	149	oveq1d 5547	. . . . . 6
151	147, 150	breq12d 3798	. . . . 5
152	146, 151	syl5ibr 154	. . . 4
153	152	imp 122	. . 3 $/\$
154	135, 153	jaoian 741	. 2 $\/$ $/\$
155	1, 154	sylanb 278	1 $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wi 4 $/\$ wa 102

wb 103 $\/$ wo 661

wceq 1284

wcel 1433 class class class wbr 3785

cfv 4922 (class class class)co 5532

cc 6979

cr 6980

cc0 6981

c1 6982

caddc 6984

cmul 6986

clt 7153

cle 7154

cn 8039

cn0 8288

cz 8351

cuz 8619

cexp 9475

cfa 9652

This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 104 ax-ia2 105 ax-ia3 106 ax-in1 576 ax-in2 577 ax-io 662 ax-5 1376 ax-7 1377 ax-gen 1378 ax-ie1 1422 ax-ie2 1423 ax-8 1435 ax-10 1436 ax-11 1437 ax-i12 1438 ax-bndl 1439 ax-4 1440 ax-13 1444 ax-14 1445 ax-17 1459 ax-i9 1463 ax-ial 1467 ax-i5r 1468 ax-ext 2063 ax-coll 3893 ax-sep 3896 ax-nul 3904 ax-pow 3948 ax-pr 3964 ax-un 4188 ax-setind 4280 ax-iinf 4329 ax-cnex 7067 ax-resscn 7068 ax-1cn 7069 ax-1re 7070 ax-icn 7071 ax-addcl 7072 ax-addrcl 7073 ax-mulcl 7074 ax-mulrcl 7075 ax-addcom 7076 ax-mulcom 7077 ax-addass 7078 ax-mulass 7079 ax-distr 7080 ax-i2m1 7081 ax-0lt1 7082 ax-1rid 7083 ax-0id 7084 ax-rnegex 7085 ax-precex 7086 ax-cnre 7087 ax-pre-ltirr 7088 ax-pre-ltwlin 7089 ax-pre-lttrn 7090 ax-pre-apti 7091 ax-pre-ltadd 7092 ax-pre-mulgt0 7093 ax-pre-mulext 7094

This theorem depends on definitions: df-bi 115 df-dc 776 df-3or 920 df-3an 921 df-tru 1287 df-fal 1290 df-nf 1390 df-sb 1686 df-eu 1944 df-mo 1945 df-clab 2068 df-cleq 2074 df-clel 2077 df-nfc 2208 df-ne 2246 df-nel 2340 df-ral 2353 df-rex 2354 df-reu 2355 df-rmo 2356 df-rab 2357 df-v 2603 df-sbc 2816 df-csb 2909 df-dif 2975 df-un 2977 df-in 2979 df-ss 2986 df-nul 3252 df-if 3352 df-pw 3384 df-sn 3404 df-pr 3405 df-op 3407 df-uni 3602 df-int 3637 df-iun 3680 df-br 3786 df-opab 3840 df-mpt 3841 df-tr 3876 df-id 4048 df-po 4051 df-iso 4052 df-iord 4121 df-on 4123 df-suc 4126 df-iom 4332 df-xp 4369 df-rel 4370 df-cnv 4371 df-co 4372 df-dm 4373 df-rn 4374 df-res 4375 df-ima 4376 df-iota 4887 df-fun 4924 df-fn 4925 df-f 4926 df-f1 4927 df-fo 4928 df-f1o 4929 df-fv 4930 df-riota 5488 df-ov 5535 df-oprab 5536 df-mpt2 5537 df-1st 5787 df-2nd 5788 df-recs 5943 df-frec 6001 df-pnf 7155 df-mnf 7156 df-xr 7157 df-ltxr 7158 df-le 7159 df-sub 7281 df-neg 7282 df-reap 7675 df-ap 7682 df-div 7761 df-inn 8040 df-n0 8289 df-z 8352 df-uz 8620 df-rp 8735 df-iseq 9432 df-iexp 9476 df-fac 9653

This theorem is referenced by: faclbnd2 9669 faclbnd3 9670

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