Theorem flqdiv 9323

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	|- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2081	. . . . . . . . 9 |- ( |_ ` A ) = ( |_ ` A )
2		eqid 2081	. . . . . . . . 9 |- ( A - ( |_ ` A ) ) = ( A - ( |_ ` A ) )
3	1, 2	intqfrac2 9321	. . . . . . . 8 |- ( A e. QQ -> ( 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) /\ ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 /\ A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) ) )
4	3	simp3d 952	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
5	4	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A = ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) )
6	5	oveq1d 5547	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) )
7		simpl 107	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> A e. QQ )
8	7	flqcld 9279	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
9	8	zcnd 8470	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. CC )
10		zq 8711	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` A ) e. ZZ -> ( |_ ` A ) e. QQ )
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` A ) e. QQ )
12		qsubcl 8723	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
13		qcn 8719	. . . . . . . 8 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ ( |_ ` A ) e. QQ ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
15	11, 14	syldan 276	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. CC )
16		simpr 108	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. NN )
17	16	nncnd 8053	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. CC )
18	16	nnap0d 8084	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N # 0 )
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 7915	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) + ( A - ( |_ ` A ) ) ) / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
20	6, 19	eqtrd 2113	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
21		flqcl 9277	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
22		eqid 2081	. . . . . . . 8 |- ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) )
23		eqid 2081	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) = ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
24	22, 23	intfracq 9322	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) /\ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) /\ ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) ) )
25	24	simp3d 952	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
26	21, 25	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) )
27	26	oveq1d 5547	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
28		znq 8709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
29	28	flqcld 9279	. . . . . . 7 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
30	21, 29	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
31	30	zcnd 8470	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. CC )
32	8, 16, 28	syl2anc 403	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ )
33		zq 8711	. . . . . . . 8 |- ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ )
35		qsubcl 8723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) e. QQ /\ ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
36	32, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ )
37		qcn 8719	. . . . . 6 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. CC )
39	11, 12	syldan 276	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ )
40		nnq 8718	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. QQ )
41	40	adantl 271	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. QQ )
42	16	nnne0d 8083	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N =/= 0 )
43		qdivcl 8728	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ /\ N e. QQ /\ N =/= 0 ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1169	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ )
45		qcn 8719	. . . . . 6 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. CC )
47	31, 38, 46	addassd 7141	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
48	20, 27, 47	3eqtrd 2117	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A / N ) = ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) )
49	48	fveq2d 5202	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( A / N ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) )
50		qre 8710	. . . . 5 |- ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
51	36, 50	syl 14	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. RR )
52		qre 8710	. . . . . 6 |- ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR )
54	53, 16	nndivred 8088	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. RR )
55	24	simp1d 950	. . . . 5 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
56	21, 55	sylan 277	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) )
57	16	nnrpd 8772	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR+ )
58		qfracge0 9283	. . . . . 6 |- ( A e. QQ -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
59	58	adantr 270	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( A - ( |_ ` A ) ) )
60	53, 57, 59	divge0d 8814	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) )
61	51, 54, 56, 60	addge0d 7622	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) )
62		nnre 8046	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. RR )
63		peano2rem 7375	. . . . . . . 8 |- ( N e. RR -> ( N - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. RR )
65		nnap0 8068	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> N # 0 )
66	64, 62, 65	redivclapd 7920	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
67	66	adantl 271	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( N - 1 ) / N ) e. RR )
68	16	nnrecred 8085	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( 1 / N ) e. RR )
69	24	simp2d 951	. . . . . 6 |- ( ( ( |_ ` A ) e. ZZ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
70	21, 69	sylan 277	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) <_ ( ( N - 1 ) / N ) )
71		qfraclt1 9282	. . . . . . 7 |- ( A e. QQ -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
72	71	adantr 270	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 )
73	16	nnred 8052	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> N e. RR )
74	16	nngt0d 8082	. . . . . . 7 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> 0 < N )
75		1re 7118	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
76		ltdiv1 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
77	75, 76	mp3an2 1256	. . . . . . 7 |- ( ( ( A - ( |_ ` A ) ) e. RR /\ ( N e. RR /\ 0 < N ) ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1167	. . . . . 6 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) < 1 <-> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) ) )
79	72, 78	mpbid 145	. . . . 5 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) < ( 1 / N ) )
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 7666	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
81		nncn 8047	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> N e. CC )
82		npcan1 7482	. . . . . . . 8 |- ( N e. CC -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
84	83	oveq1d 5547	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( N / N ) )
85	64	recnd 7147	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. CC )
86		ax-1cn 7069	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
87		divdirap 7785	. . . . . . . 8 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ 1 e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
88	86, 87	mp3an2 1256	. . . . . . 7 |- ( ( ( N - 1 ) e. CC /\ ( N e. CC /\ N # 0 ) ) -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1167	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) + 1 ) / N ) = ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) )
90	81, 65	dividapd 7874	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N / N ) = 1 )
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2121	. . . . 5 |- ( N e. NN -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
92	91	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( N - 1 ) / N ) + ( 1 / N ) ) = 1 )
93	80, 92	breqtrd 3809	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 )
94	32	flqcld 9279	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ )
95		qaddcl 8720	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) e. QQ /\ ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) e. QQ ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
96	36, 44, 95	syl2anc 403	. . . 4 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ )
97		flqbi2 9293	. . . 4 |- ( ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) e. ZZ /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) e. QQ ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 403	. . 3 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) <-> ( 0 <_ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) /\ ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) < 1 ) ) )
99	61, 93, 98	mpbir2and 885	. 2 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) + ( ( ( ( |_ ` A ) / N ) - ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) ) + ( ( A - ( |_ ` A ) ) / N ) ) ) ) = ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) )
100	49, 99	eqtr2d 2114	1 |- ( ( A e. QQ /\ N e. NN ) -> ( |_ ` ( ( |_ ` A ) / N ) ) = ( |_ ` ( A / N ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1284   e. wcel 1433   =/= wne 2245   class class class wbr 3785   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   CCcc 6979   RRcr 6980   0cc0 6981   1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   <_ cle 7154   - cmin 7279   # cap 7681   / cdiv 7760   NNcn 8039   ZZcz 8351   QQcq 8704   |_cfl 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274

This theorem is referenced by:  modqmulnn  9344