Theorem flqdiv 9323

Description: Cancellation of the embedded floor of a real divided by an integer. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
flqdiv	⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Proof of Theorem flqdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2081	. . . . . . . . 9 ⊢ (⌊‘𝐴) = (⌊‘𝐴)
2		eqid 2081	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) = (𝐴 − (⌊‘𝐴))
3	1, 2	intqfrac2 9321	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∧ (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ∧ 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴)))))
4	3	simp3d 952	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
5	4	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 = ((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))))
6	5	oveq1d 5547	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁))
7		simpl 107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℚ)
8	7	flqcld 9279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
9	8	zcnd 8470	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℂ)
10		zq 8711	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘𝐴) ∈ ℤ → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
11	8, 10	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘𝐴) ∈ ℚ)
12		qsubcl 8723	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
13		qcn 8719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (⌊‘𝐴) ∈ ℚ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
15	11, 14	syldan 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℂ)
16		simpr 108	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ)
17	16	nncnd 8053	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
18	16	nnap0d 8084	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 # 0)
19	9, 15, 17, 18	divdirapd 7915	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) + (𝐴 − (⌊‘𝐴))) / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
20	6, 19	eqtrd 2113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
21		flqcl 9277	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (⌊‘𝐴) ∈ ℤ)
22		eqid 2081	. . . . . . . 8 ⊢ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))
23		eqid 2081	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) = (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
24	22, 23	intfracq 9322	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∧ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∧ ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))))
25	24	simp3d 952	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
26	21, 25	sylan 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))))
27	26	oveq1d 5547	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
28		znq 8709	. . . . . . . 8 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
29	28	flqcld 9279	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
30	21, 29	sylan 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
31	30	zcnd 8470	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℂ)
32	8, 16, 28	syl2anc 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ)
33		zq 8711	. . . . . . . 8 ⊢ ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
34	30, 33	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ)
35		qsubcl 8723	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) ∈ ℚ ∧ (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℚ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
36	32, 34, 35	syl2anc 403	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ)
37		qcn 8719	. . . . . 6 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
38	36, 37	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℂ)
39	11, 12	syldan 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ)
40		nnq 8718	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
41	40	adantl 271	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
42	16	nnne0d 8083	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ≠ 0)
43		qdivcl 8728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
44	39, 41, 42, 43	syl3anc 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ)
45		qcn 8719	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
46	44, 45	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℂ)
47	31, 38, 46	addassd 7141	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
48	20, 27, 47	3eqtrd 2117	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑁) = ((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))))
49	48	fveq2d 5202	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐴 / 𝑁)) = (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))))
50		qre 8710	. . . . 5 ⊢ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
51	36, 50	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℝ)
52		qre 8710	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
53	39, 52	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ)
54	53, 16	nndivred 8088	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℝ)
55	24	simp1d 950	. . . . 5 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
56	21, 55	sylan 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))))
57	16	nnrpd 8772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
58		qfracge0 9283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
59	58	adantr 270	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 − (⌊‘𝐴)))
60	53, 57, 59	divge0d 8814	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁))
61	51, 54, 56, 60	addge0d 7622	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))
62		nnre 8046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
63		peano2rem 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
64	62, 63	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
65		nnap0 8068	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 # 0)
66	64, 62, 65	redivclapd 7920	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
67	66	adantl 271	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) / 𝑁) ∈ ℝ)
68	16	nnrecred 8085	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
69	24	simp2d 951	. . . . . 6 ⊢ (((⌊‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
70	21, 69	sylan 277	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑁))
71		qfraclt1 9282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
72	71	adantr 270	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1)
73	16	nnred 8052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
74	16	nngt0d 8082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
75		1re 7118	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
76		ltdiv1 7946	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
77	75, 76	mp3an2 1256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − (⌊‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁)) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
78	53, 73, 74, 77	syl12anc 1167	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) < 1 ↔ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁)))
79	72, 78	mpbid 145	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) < (1 / 𝑁))
80	51, 54, 67, 68, 70, 79	leltaddd 7666	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
81		nncn 8047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
82		npcan1 7482	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
83	81, 82	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
84	83	oveq1d 5547	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (𝑁 / 𝑁))
85	64	recnd 7147	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
86		ax-1cn 7069	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		divdirap 7785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
88	86, 87	mp3an2 1256	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 # 0)) → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
89	85, 81, 65, 88	syl12anc 1167	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) + 1) / 𝑁) = (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)))
90	81, 65	dividapd 7874	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 / 𝑁) = 1)
91	84, 89, 90	3eqtr3d 2121	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
92	91	adantl 271	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁 − 1) / 𝑁) + (1 / 𝑁)) = 1)
93	80, 92	breqtrd 3809	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)
94	32	flqcld 9279	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ)
95		qaddcl 8720	. . . . 5 ⊢ (((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) ∈ ℚ ∧ ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁) ∈ ℚ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
96	36, 44, 95	syl2anc 403	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ)
97		flqbi2 9293	. . . 4 ⊢ (((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ∈ ℤ ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∈ ℚ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
98	94, 96, 97	syl2anc 403	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) ↔ (0 ≤ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) ∧ ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)) < 1)))
99	61, 93, 98	mpbir2and 885	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) + ((((⌊‘𝐴) / 𝑁) − (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁))) + ((𝐴 − (⌊‘𝐴)) / 𝑁)))) = (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)))
100	49, 99	eqtr2d 2114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (⌊‘((⌊‘𝐴) / 𝑁)) = (⌊‘(𝐴 / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 102   ↔ wb 103   = wceq 1284   ∈ wcel 1433   ≠ wne 2245   class class class wbr 3785  ‘cfv 4922  (class class class)co 5532  ℂcc 6979  ℝcr 6980  0cc0 6981  1c1 6982   + caddc 6984   < clt 7153   ≤ cle 7154   − cmin 7279   # cap 7681   / cdiv 7760  ℕcn 8039  ℤcz 8351  ℚcq 8704  ⌊cfl 9272

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-mulrcl 7075  ax-addcom 7076  ax-mulcom 7077  ax-addass 7078  ax-mulass 7079  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-1rid 7083  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-precex 7086  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-apti 7091  ax-pre-ltadd 7092  ax-pre-mulgt0 7093  ax-pre-mulext 7094  ax-arch 7095

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rmo 2356  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-po 4051  df-iso 4052  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-reap 7675  df-ap 7682  df-div 7761  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-q 8705  df-rp 8735  df-fl 9274

This theorem is referenced by:  modqmulnn  9344