Theorem funimaexglem 5002

Description: Lemma for funimaexg 5003. It constitutes the interesting part of funimaexg 5003, in which B C_ dom A. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Dec-2018.)

Assertion

Ref	Expression
funimaexglem	|- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Proof of Theorem funimaexglem

Dummy variables b x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 4948	. . . . . . . . . 10 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2	1	simprbi 269	. . . . . . . . 9 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E* y x A y )
3	2	3ad2ant1 959	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. dom A E* y x A y )
4		ssralv 3058	. . . . . . . . 9 |- ( B C_ dom A -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
5	4	3ad2ant3 961	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A. x e. dom A E* y x A y -> A. x e. B E* y x A y ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. x e. B E* y x A y )
7	6	alrimiv 1795	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> A. z A. x e. B E* y x A y )
8		sseq1 3020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b = B -> ( b C_ dom A <-> B C_ dom A ) )
9	8	biimpar 291	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
10	9	3adant1 956	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> b C_ dom A )
11		simp1 938	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> Fun A )
12	10, 11	jca 300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( b C_ dom A /\ Fun A ) )
13		dffun8 4949	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
14	13	simprbi 269	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Fun A -> A. x e. dom A E! y x A y )
15	14	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. dom A E! y x A y )
16		ssel 2993	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( b C_ dom A -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
17	16	adantr 270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> x e. dom A ) )
18		rsp 2411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A. x e. dom A E! y x A y -> ( x e. dom A -> E! y x A y ) )
19	15, 17, 18	sylsyld 57	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> ( x e. b -> E! y x A y ) )
20	19	ralrimiv 2433	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( b C_ dom A /\ Fun A ) -> A. x e. b E! y x A y )
21		zfrep6 3895	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. b E! y x A y -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
22	12, 20, 21	3syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. b E. y e. z x A y )
23		raleq 2549	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( b = B -> ( A. x e. b E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y e. z x A y ) )
24	23	exbidv 1746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( b = B -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
25	24	3ad2ant2 960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> ( E. z A. x e. b E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
26	22, 25	mpbid 145	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun A /\ b = B /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
27	26	3com12 1142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( b = B /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
28	27	3expib 1141	. . . . . . . . . 10 |- ( b = B -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
29	28	vtocleg 2669	. . . . . . . . 9 |- ( B e. C -> ( ( Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y ) )
30	29	3impib 1136	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. C /\ Fun A /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
31	30	3com12 1142	. . . . . . 7 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y e. z x A y )
32		df-rex 2354	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( y e. z /\ x A y ) )
33		exancom 1539	. . . . . . . . . 10 |- ( E. y ( y e. z /\ x A y ) <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
34	32, 33	bitri 182	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. z x A y <-> E. y ( x A y /\ y e. z ) )
35	34	ralbii 2372	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. B E. y e. z x A y <-> A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
36	35	exbii 1536	. . . . . . 7 |- ( E. z A. x e. B E. y e. z x A y <-> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
37	31, 36	sylib 120	. . . . . 6 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
38		19.29 1551	. . . . . . 7 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
39		nfcv 2219	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ y B
40		nfmo1 1953	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E* y x A y
41	39, 40	nfralxy 2402	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E* y x A y
42		nfe1 1425	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y E. y ( x A y /\ y e. z )
43	39, 42	nfralxy 2402	. . . . . . . . . 10 |- F/ y A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z )
44	41, 43	nfan 1497	. . . . . . . . 9 |- F/ y ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) )
45		r19.26 2485	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) <-> ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) )
46		mopick 2019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> ( x A y -> y e. z ) )
47	46	ralimi 2426	. . . . . . . . . 10 |- ( A. x e. B ( E* y x A y /\ E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
48	45, 47	sylbir 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
49	44, 48	alrimi 1455	. . . . . . . 8 |- ( ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
50	49	eximi 1531	. . . . . . 7 |- ( E. z ( A. x e. B E* y x A y /\ A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
51	38, 50	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( A. z A. x e. B E* y x A y /\ E. z A. x e. B E. y ( x A y /\ y e. z ) ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
52	7, 37, 51	syl2anc 403	. . . . 5 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) )
53		r19.23v 2469	. . . . . . 7 |- ( A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
54	53	albii 1399	. . . . . 6 |- ( A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
55	54	exbii 1536	. . . . 5 |- ( E. z A. y A. x e. B ( x A y -> y e. z ) <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
56	52, 55	sylib 120	. . . 4 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
57		abss 3063	. . . . 5 |- ( { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
58	57	exbii 1536	. . . 4 |- ( E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z <-> E. z A. y ( E. x e. B x A y -> y e. z ) )
59	56, 58	sylibr 132	. . 3 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
60		dfima2 4690	. . . . 5 |- ( A " B ) = { y | E. x e. B x A y }
61	60	sseq1i 3023	. . . 4 |- ( ( A " B ) C_ z <-> { y | E. x e. B x A y } C_ z )
62	61	exbii 1536	. . 3 |- ( E. z ( A " B ) C_ z <-> E. z { y | E. x e. B x A y } C_ z )
63	59, 62	sylibr 132	. 2 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> E. z ( A " B ) C_ z )
64		vex 2604	. . . 4 |- z e. _V
65	64	ssex 3915	. . 3 |- ( ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
66	65	exlimiv 1529	. 2 |- ( E. z ( A " B ) C_ z -> ( A " B ) e. _V )
67	63, 66	syl 14	1 |- ( ( Fun A /\ B e. C /\ B C_ dom A ) -> ( A " B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   A.wal 1282   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E!weu 1941   E*wmo 1942   {cab 2067   A.wral 2348   E.wrex 2349   _Vcvv 2601   C_ wss 2973   class class class wbr 3785   dom cdm 4363   "cima 4366   Rel wrel 4368   Fun wfun 4916

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-fun 4924

This theorem is referenced by:  funimaexg  5003