Theorem iseqhomo 9468

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
iseqhomo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
iseqhomo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
iseqhomo.s	|- ( ph -> S e. V )
iseqhomo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
iseqhomo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
iseqhomo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
iseqhomo.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
iseqhomo.qcl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
iseqhomo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y   y, G

Allowed substitution hints:   V( x, y)

Proof of Theorem iseqhomo

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iseqhomo.3	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = M -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) )
3	2	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( w = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) )
4		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) )
5	3, 4	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) )
6	5	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) ) )
7		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = n -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) )
8	7	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( w = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
9		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( w = n -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) )
10	8, 9	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) )
11	10	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) ) )
12		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) )
13	12	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
14		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) )
15	13, 14	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
16	15	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
17		fveq2 5198	. . . . . 6 |- ( w = N -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) = ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) )
18	17	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( w = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) )
19		fveq2 5198	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )
20	18, 19	eqeq12d 2095	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) )
21	20	imbi2d 228	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) ) )
22		eluzel2 8624	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
23	1, 22	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
24		uzid 8633	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
26		iseqhomo.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
27	26	ralrimiva 2434	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
28		fveq2 5198	. . . . . . . . 9 |- ( x = M -> ( F ` x ) = ( F ` M ) )
29	28	fveq2d 5202	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
30		fveq2 5198	. . . . . . . 8 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
31	29, 30	eqeq12d 2095	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
32	31	rspcv 2697	. . . . . 6 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
33	25, 27, 32	sylc 61	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
34		iseqhomo.s	. . . . . . 7 |- ( ph -> S e. V )
35		iseqhomo.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
36		iseqhomo.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
37	23, 34, 35, 36	iseq1 9442	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) = ( F ` M ) )
38	37	fveq2d 5202	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
39		iseqhomo.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
40		iseqhomo.qcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
41	23, 34, 39, 40	iseq1 9442	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) = ( G ` M ) )
42	33, 38, 41	3eqtr4d 2123	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) )
43	42	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` M ) ) )
44		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
45		simpr 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
46	34	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> S e. V )
47	35	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
48	36	adantlr 460	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
49	45, 46, 47, 48	iseqp1 9445	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
50	49	fveq2d 5202	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51		iseqhomo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
52	51	ralrimivva 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
53	52	adantr 270	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
54	45, 46, 47, 48	iseqcl 9443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S )
55		peano2uz 8671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
56	45, 55	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
57	35	ralrimiva 2434	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
58	57	adantr 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
59		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
60	59	eleq1d 2147	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
61	60	rspcv 2697	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
62	56, 58, 61	sylc 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
63		oveq1 5539	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) )
64	63	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) )
65		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) )
66	65	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
67	64, 66	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
68		oveq2 5540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
69	68	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
70		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
71	70	oveq2d 5548	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
72	69, 71	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
73	67, 72	rspc2v 2713	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
74	54, 62, 73	syl2anc 403	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
75	53, 74	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
76	27	adantr 270	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
77	59	fveq2d 5202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
78		fveq2 5198	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
79	77, 78	eqeq12d 2095	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
80	79	rspcv 2697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
81	56, 76, 80	sylc 61	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
82	81	oveq2d 5548	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
83	50, 75, 82	3eqtrd 2117	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
84	39	adantlr 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
85	40	adantlr 460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
86	45, 46, 84, 85	iseqp1 9445	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
87	83, 86	eqeq12d 2095	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
88	44, 87	syl5ibr 154	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) )
89	88	expcom 114	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
90	89	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` n ) ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
91	6, 11, 16, 21, 43, 90	uzind4 8676	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) ) )
92	1, 91	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F , S ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G , S ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1284   e. wcel 1433   A.wral 2348   ` cfv 4922  (class class class)co 5532   1c1 6982   + caddc 6984   ZZcz 8351   ZZ>=cuz 8619   seqcseq 9431

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-frec 6001  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352  df-uz 8620  df-iseq 9432

This theorem is referenced by:  iseqdistr  9470