ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn0z Unicode version
Theorem elnn0z 8364
Description: Nonnegative integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
elnn0z |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Proof of Theorem elnn0z
StepHypRef Expression
1 nn0re 8297 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> N e. RR )
2 elnn0 8290 . . . . . . 7 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
32biimpi 118 . . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( N e. NN \/ N = 0 ) )
43orcomd 680 . . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN ) )
5 3mix1 1107 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
6 3mix2 1108 . . . . . 6 |- ( N e. NN -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
75, 6jaoi 668 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
84, 7syl 14 . . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
9 elz 8353 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
101, 8, 9sylanbrc 408 . . 3 |- ( N e. NN0 -> N e. ZZ )
11 nn0ge0 8313 . . 3 |- ( N e. NN0 -> 0 <_ N )
1210, 11jca 300 . 2 |- ( N e. NN0 -> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
139simprbi 269 . . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
1413adantr 270 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) )
15 0nn0 8303 . . . . . 6 |- 0 e. NN0
16 eleq1 2141 . . . . . 6 |- ( N = 0 -> ( N e. NN0 <-> 0 e. NN0 ) )
1715, 16mpbiri 166 . . . . 5 |- ( N = 0 -> N e. NN0 )
1817a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N = 0 -> N e. NN0 ) )
19 nnnn0 8295 . . . . 5 |- ( N e. NN -> N e. NN0 )
2019a1i 9 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N e. NN -> N e. NN0 ) )
21 simpr 108 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 <_ N )
22 0red 7120 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> 0 e. RR )
23 zre 8355 . . . . . . . . 9 |- ( N e. ZZ -> N e. RR )
2423adantr 270 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. RR )
2522, 24lenltd 7227 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( 0 <_ N <-> -. N < 0 ) )
2621, 25mpbid 145 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. N < 0 )
27 nngt0 8064 . . . . . . 7 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
2824lt0neg1d 7616 . . . . . . 7 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( N < 0 <-> 0 < -u N ) )
2927, 28syl5ibr 154 . . . . . 6 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N < 0 ) )
3026, 29mtod 621 . . . . 5 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> -. -u N e. NN )
3130pm2.21d 581 . . . 4 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( -u N e. NN -> N e. NN0 ) )
3218, 20, 313jaod 1235 . . 3 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) -> N e. NN0 ) )
3314, 32mpd 13 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) -> N e. NN0 )
3412, 33impbii 124 1 |- ( N e. NN0 <-> ( N e. ZZ /\ 0 <_ N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 661   \/ w3o 918   = wceq 1284   e. wcel 1433   class class class wbr 3785   RRcr 6980   0cc0 6981   < clt 7153   <_ cle 7154   -ucneg 7280   NNcn 8039   NN0cn0 8288   ZZcz 8351
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-cnex 7067  ax-resscn 7068  ax-1cn 7069  ax-1re 7070  ax-icn 7071  ax-addcl 7072  ax-addrcl 7073  ax-mulcl 7074  ax-addcom 7076  ax-addass 7078  ax-distr 7080  ax-i2m1 7081  ax-0lt1 7082  ax-0id 7084  ax-rnegex 7085  ax-cnre 7087  ax-pre-ltirr 7088  ax-pre-ltwlin 7089  ax-pre-lttrn 7090  ax-pre-ltadd 7092
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-nel 2340  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-br 3786  df-opab 3840  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-riota 5488  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-pnf 7155  df-mnf 7156  df-xr 7157  df-ltxr 7158  df-le 7159  df-sub 7281  df-neg 7282  df-inn 8040  df-n0 8289  df-z 8352
This theorem is referenced by:  nn0zrab  8376  znn0sub  8416  nn0ind  8461  fnn0ind  8463  fznn0  9129  elfz0ubfz0  9136  elfz0fzfz0  9137  fz0fzelfz0  9138  elfzmlbp  9143  difelfzle  9145  difelfznle  9146  elfzo0z  9193  fzofzim  9197  ubmelm1fzo  9235  flqge0nn0  9295  zmodcl  9346  modqmuladdnn0  9370  modsumfzodifsn  9398  zsqcl2  9553  nn0abscl  9971  oexpneg  10276  oddnn02np1  10280  evennn02n  10282  nn0ehalf  10303  nn0oddm1d2  10309  divalgb  10325  dfgcd2  10403  ialgcvga  10433
  Copyright terms: Public domain W3C validator