Theorem ltexnqq 6598

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltexnqq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Proof of Theorem ltexnqq

Dummy variables f g h y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6538	. . 3 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		breq1 3788	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q [ <. w , v >. ] ~Q ) )
3		oveq1 5539	. . . . . 6 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( A +Q x ) )
4	3	eqeq1d 2089	. . . . 5 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
5	4	rexbidv 2369	. . . 4 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
6	2, 5	imbi12d 232	. . 3 |- ( [ <. y , z >. ] ~Q = A -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) ) )
7		breq2 3789	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> A <Q B ) )
8		eqeq2 2090	. . . . 5 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( A +Q x ) = B ) )
9	8	rexbidv 2369	. . . 4 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
10	7, 9	imbi12d 232	. . 3 |- ( [ <. w , v >. ] ~Q = B -> ( ( A <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) <-> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) ) )
11		ordpipqqs 6564	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( y .N v ) <N ( z .N w ) ) )
12		mulclpi 6518	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ v e. N. ) -> ( y .N v ) e. N. )
13		mulclpi 6518	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. ) -> ( z .N w ) e. N. )
14	12, 13	anim12i 331	. . . . . . . 8 |- ( ( ( y e. N. /\ v e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
15	14	an42s 553	. . . . . . 7 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) )
16		ltexpi 6527	. . . . . . 7 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ ( z .N w ) e. N. ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
18		df-rex 2354	. . . . . 6 |- ( E. u e. N. ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
19	17, 18	syl6bb 194	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) <-> E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) )
20		simpll 495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( y e. N. /\ z e. N. ) )
21		simpr 108	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> u e. N. )
22		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> z e. N. )
23		simpr 108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> v e. N. )
24	22, 23	anim12i 331	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
25	24	adantr 270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ v e. N. ) )
26		mulclpi 6518	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ v e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z .N v ) e. N. )
28	20, 21, 27	jca32 303	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
29	28	adantrr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) )
30		addpipqqs 6560	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
32		simplll 499	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> y e. N. )
33		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> z e. N. )
34		simplrr 502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> v e. N. )
35		mulcompig 6521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
36	35	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
37		mulasspig 6522	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
38	37	adantl 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
39	32, 33, 34, 36, 38	caov12d 5702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N ( z .N v ) ) = ( z .N ( y .N v ) ) )
40	39	oveq1d 5547	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
41	32, 34, 12	syl2anc 403	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
42		simprl 497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> u e. N. )
43		distrpig 6523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
44	33, 41, 42, 43	syl3anc 1169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) = ( ( z .N ( y .N v ) ) +N ( z .N u ) ) )
45	40, 44	eqtr4d 2116	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) = ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) )
46	45	opeq1d 3576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. = <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. )
47	46	eceq1d 6165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q )
48		simpllr 500	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> z e. N. )
49	12	ad2ant2rl 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N v ) e. N. )
50		addclpi 6517	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( y .N v ) e. N. /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
51	49, 50	sylan 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( ( y .N v ) +N u ) e. N. )
52	48, 51, 27	3jca 1118	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ u e. N. ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
53	52	adantrr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) )
54		mulcanenqec 6576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
55	53, 54	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( z .N ( ( y .N v ) +N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
56	47, 55	eqtrd 2113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N ( z .N v ) ) +N ( z .N u ) ) , ( z .N ( z .N v ) ) >. ] ~Q = [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
57		3anass 923	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) <-> ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) )
58	57	biimpri 131	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. N. /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
59	58	adantll 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) )
60	59	anim1i 333	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
61	60	adantrl 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) )
62		opeq1 3570	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. = <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. )
63	62	eceq1d 6165	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q )
64		mulcanenqec 6576	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) -> [ <. ( z .N w ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 2135	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N. ) /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
66	61, 65	syl 14	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. ( ( y .N v ) +N u ) , ( z .N v ) >. ] ~Q = [ <. w , v >. ] ~Q )
67	31, 56, 66	3eqtrd 2117	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
68	33, 34, 26	syl2anc 403	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( z .N v ) e. N. )
69		opelxpi 4394	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) )
70		enqex 6550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ~Q e. _V
71	70	ecelqsi 6183	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. u , ( z .N v ) >. e. ( N. X. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
72	69, 71	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( u e. N. /\ ( z .N v ) e. N. ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
73	42, 68, 72	syl2anc 403	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. ( ( N. X. N. ) /. ~Q ) )
74	73, 1	syl6eleqr 2172	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q e. Q. )
75		oveq2 5540	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) )
76	75	eqeq1d 2089	. . . . . . . . . 10 |- ( x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
77	76	adantl 271	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) /\ x = [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q <-> ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
78	74, 77	rspcedv 2705	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> ( ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q [ <. u , ( z .N v ) >. ] ~Q ) = [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
79	67, 78	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q )
80	79	ex 113	. . . . . 6 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
81	80	exlimdv 1740	. . . . 5 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( E. u ( u e. N. /\ ( ( y .N v ) +N u ) = ( z .N w ) ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
82	19, 81	sylbid 148	. . . 4 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N v ) <N ( z .N w ) -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
83	11, 82	sylbid 148	. . 3 |- ( ( ( y e. N. /\ z e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( [ <. y , z >. ] ~Q <Q [ <. w , v >. ] ~Q -> E. x e. Q. ( [ <. y , z >. ] ~Q +Q x ) = [ <. w , v >. ] ~Q ) )
84	1, 6, 10, 83	2ecoptocl 6217	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B -> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )
85		ltaddnq 6597	. . . . 5 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> A <Q ( A +Q x ) )
86		breq2 3789	. . . . 5 |- ( ( A +Q x ) = B -> ( A <Q ( A +Q x ) <-> A <Q B ) )
87	85, 86	syl5ibcom 153	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
88	87	rexlimdva 2477	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
89	88	adantr 270	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x e. Q. ( A +Q x ) = B -> A <Q B ) )
90	84, 89	impbid 127	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( A <Q B <-> E. x e. Q. ( A +Q x ) = B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   /\ w3a 919   = wceq 1284   E.wex 1421   e. wcel 1433   E.wrex 2349   <.cop 3401   class class class wbr 3785   X. cxp 4361  (class class class)co 5532   [cec 6127   /.cqs 6128   N.cnpi 6462   +N cpli 6463   .N cmi 6464   <N clti 6465   ~Q ceq 6469   Q.cnq 6470   +Q cplq 6472   <Q cltq 6475

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 576  ax-in2 577  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-coll 3893  ax-sep 3896  ax-nul 3904  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188  ax-setind 4280  ax-iinf 4329

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 776  df-3or 920  df-3an 921  df-tru 1287  df-fal 1290  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ne 2246  df-ral 2353  df-rex 2354  df-reu 2355  df-rab 2357  df-v 2603  df-sbc 2816  df-csb 2909  df-dif 2975  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-nul 3252  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-int 3637  df-iun 3680  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-tr 3876  df-eprel 4044  df-id 4048  df-iord 4121  df-on 4123  df-suc 4126  df-iom 4332  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-res 4375  df-ima 4376  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fn 4925  df-f 4926  df-f1 4927  df-fo 4928  df-f1o 4929  df-fv 4930  df-ov 5535  df-oprab 5536  df-mpt2 5537  df-1st 5787  df-2nd 5788  df-recs 5943  df-irdg 5980  df-1o 6024  df-oadd 6028  df-omul 6029  df-er 6129  df-ec 6131  df-qs 6135  df-ni 6494  df-pli 6495  df-mi 6496  df-lti 6497  df-plpq 6534  df-mpq 6535  df-enq 6537  df-nqqs 6538  df-plqqs 6539  df-mqqs 6540  df-1nqqs 6541  df-ltnqqs 6543

This theorem is referenced by:  ltexnqi  6599  addlocpr  6726  ltexprlemopl  6791  ltexprlemopu  6793  ltexprlemrl  6800  ltexprlemru  6802  cauappcvgprlemopl  6836  caucvgprlemopl  6859  caucvgprprlemopl  6887