Theorem op2nd 5794

Description: Extract the second member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	|- A e. _V
op1st.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
op2nd	|- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Proof of Theorem op2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		op1st.1	. . . 4 |- A e. _V
2		op1st.2	. . . 4 |- B e. _V
3		opexg 3983	. . . 4 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> <. A , B >. e. _V )
4	1, 2, 3	mp2an 416	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5		2ndvalg 5790	. . 3 |- ( <. A , B >. e. _V -> ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. } )
6	4, 5	ax-mp 7	. 2 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = U. ran { <. A , B >. }
7	1, 2	op2nda 4825	. 2 |- U. ran { <. A , B >. } = B
8	6, 7	eqtri 2101	1 |- ( 2nd ` <. A , B >. ) = B

Syntax hints:   = wceq 1284   e. wcel 1433   _Vcvv 2601   {csn 3398   <.cop 3401   U.cuni 3601   ran crn 4364   ` cfv 4922   2ndc2nd 5786

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 662  ax-5 1376  ax-7 1377  ax-gen 1378  ax-ie1 1422  ax-ie2 1423  ax-8 1435  ax-10 1436  ax-11 1437  ax-i12 1438  ax-bndl 1439  ax-4 1440  ax-13 1444  ax-14 1445  ax-17 1459  ax-i9 1463  ax-ial 1467  ax-i5r 1468  ax-ext 2063  ax-sep 3896  ax-pow 3948  ax-pr 3964  ax-un 4188

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 921  df-tru 1287  df-nf 1390  df-sb 1686  df-eu 1944  df-mo 1945  df-clab 2068  df-cleq 2074  df-clel 2077  df-nfc 2208  df-ral 2353  df-rex 2354  df-v 2603  df-sbc 2816  df-un 2977  df-in 2979  df-ss 2986  df-pw 3384  df-sn 3404  df-pr 3405  df-op 3407  df-uni 3602  df-br 3786  df-opab 3840  df-mpt 3841  df-id 4048  df-xp 4369  df-rel 4370  df-cnv 4371  df-co 4372  df-dm 4373  df-rn 4374  df-iota 4887  df-fun 4924  df-fv 4930  df-2nd 5788

This theorem is referenced by:  op2ndd  5796  op2ndg  5798  2ndval2  5803  fo2ndresm  5809  eloprabi  5842  fo2ndf  5868  f1o2ndf1  5869  genpelvu  6703  nqprl  6741  1pru  6746  addnqprlemru  6748  addnqprlemfl  6749  addnqprlemfu  6750  mulnqprlemru  6764  mulnqprlemfl  6765  mulnqprlemfu  6766  ltnqpr  6783  ltnqpri  6784  ltexprlemelu  6789  recexprlemelu  6813  cauappcvgprlemm  6835  cauappcvgprlemopu  6838  cauappcvgprlemupu  6839  cauappcvgprlemdisj  6841  cauappcvgprlemloc  6842  cauappcvgprlemladdfu  6844  cauappcvgprlemladdru  6846  cauappcvgprlemladdrl  6847  cauappcvgprlem2  6850  caucvgprlemm  6858  caucvgprlemopu  6861  caucvgprlemupu  6862  caucvgprlemdisj  6864  caucvgprlemloc  6865  caucvgprlemladdfu  6867  caucvgprlem2  6870  caucvgprprlemelu  6876  caucvgprprlemmu  6885  caucvgprprlemexbt  6896  caucvgprprlem2  6900